Розшарований кодобуток (також розшарована сума, амальгама) — поняття в теорії категорій, двоїсте поняттю розшарованого добутку. Розшарований кодобуток єкограницею діаграми, що складається із двох морфізмів . Він складається з об'єкта P і двох морфізмів X → P і Y → P, що разом із початковими морфізмами утворюють діаграму, що називається кодекартовим квадратом.

Означення Нехай — морфізми в категорії . Розшарованим кодобутком для пари морфізмів називається об'єкт P і морфізми i1 : X → P і i2 : Y → P для яких діаграма нижче є комутативною:

Окрім того P є універсальним серед об'єктів з цією властивістю. А саме, для будь-якого об'єкта з морфізмами , які доповнюють до комутативного квадрата, існує єдиний морфізм , для якого діаграма нижче є комутативною:

Для розшарованого кодобутку часто використовуються позначення або .

Як і будь-які універсальні конструкції, розшарований кодобуток не обов'язково існує, але якщо існує, то визначений з точністю до ізоморфізму.

Приклади

У категорії множин — диз'юнктне об'єднання і , в якому ототожнюються елементи із однаковим прообразом в . Більш точно, де — найменше відношення еквівалентності, таке що .

Конструкція склеювання просторів є прикладом побудови розшарованого кодобутку в категорії топологічних просторів. Більш детально, якщо — підпростір у і — відповідне відображення включення, то можна «склеїти» з по , використовуючи «відображення відповідності» . Одержаний в результаті склеєний простір є розшарованим кодобутком і .

Окремим випадком попереднього прикладу є букет просторів X і Y з виділеними точками, де Z є одноточковим простором. Тоді розшарований кодобуток є рівним , простору отриманому ідентифікацією виділених точок просторів X і Y.

В категорії абелевих груп розшаровані кодобутки можна розглядати як прямий сумі абелевих груп «зі склеюванням». А саме, якщо і — гомоморфізми із спільною областю визначення , то розшарований кодобуток є факторгрупою прямої суми по підгрупі, породженій всіма елементами виду . Приблизно те ж саме можна зробити в категорії модулів.

У категорії груп розшарований кодобуток називається вільним добутком з амальгамацією.

У категорії комутативних кілець розшарованим кодобутком кілець A, B і гомоморфізмів f : C → A і g : C → B є тензорний добуток кілець із морфізмами і для яких .

Властивості

Якщо існує розшарований кодобуток A⊔CB, то існує також розшарований кодобуток B⊔CA і натуральний ізоморфізм A∪CB ≅ B∪CA. В абелевій категорії всі кодобутки існують і вони зберігають коядра, а саме якщо (P, i1, i2) є розшарованим кодобутком f : Z → X і g : Z → Y, тоді натуральні перетворення coker(f) → coker(i2) і coker(g) → coker(i1) є ізоморфізмами. Існує натуральний ізоморфізм (A⊔CB)⊔B D ≅ A⊔CD. Більш детально: якщо задано морфізми f : C → A, g : C → B і h : B → D і розшарований кодобуток f і g задано як i : A → P і j : B → P, і розшарований кодобуток j і h задано як k : P → Q і l : D → Q , тоді розшарований кодобуток f і hg задано як ki : A → Q і l : D → Q.

Графічно це означає, що два кодекартові квадрати розташовані поруч, із одним спільним морфізмом, утворюють більший кодекартів квадрат, якщо ігнорувати спільний морфізм.

Кодобутки є розшарованими кодобутками із початкового об'єкта; ковирівнювач морфізмів f, g : X → Y є розшарованим кодобутком [f, g] і [1X, 1X], тому якщо в категорії є початковий об'єкт і визначені всі розшаровані кодобутки, тоді в ній існують кодобутки і ковирівнювачі. Натомість розшарований кодобуток f : Z → X і g : Z → Y можна отримати через кодобутки і ковирівнювачі. Для цього спершу вводиться кодобуток X і Y. Тоді можна розглядати два морфізми із Z у цей кодобуток: морфізм одержаний композицією f і стандартного морфізму з X у кодобуток і морфізм одержаний композицією g і стандартного морфізму з Y у кодобуток. Розшарований кодобуток f і g є рівним ковирівнювачу цих морфізмів.

Див. також

Кодобуток Розшарований добуток

Література

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. .