Сингуля́рний ро́зклад ма́триці (сингулярне представлення матриці чи ) — один з важливих методів розкладу матриці з дійсними або комплексними числами. Є узагальненням власного розкладу матриці невід'ємно визначеної нормальної матриці (наприклад, симетричної матриці з додатними власними значеннями) на матрицю розміру як узагальнення полярного розкладу.
Формально, сингулярний розклад матриці розміру , яка складена з дійсних або комплексних чисел, буде розкладанням на множники у вигляді , де — матриця розміру буде дійсною або комплексною унітарною матрицею, буде -прямокутною діагональною матрицею з не від'ємними дійсними числами на діагоналі, і буде дійсною або комплексною унітарною матрицею розміру . Діагональні елементи матриці відомі як сингулярні значення матриці . Стовпчики та стовпчики називаються ліво-сингулярними векторами та право-сингулярними векторами матриці , відповідно.
Сингулярний розклад матриці можна обчислити за допомогою наступних спостережень: Ліво-сингулярні вектори є множиною ортонормованих головних векторів . Право-сингулярні вектори є множиною ортонормованих головних векторів . Не нульові сингулярні значення (знаходяться на діагоналі ) є квадратними коренями не нульових головних значень як , так і .
Сингулярний розклад матриці застосовується в лінійній алгебрі для обчислення псевдоінверсії, наближення матриці, обчислення ядра або рангу матриці та інше.
Визначення Якщо M — матриця розміру m×n чиї елементи беруться з поля K, що може бути полем дійсних або комплексних чисел.
Тоді, невід'ємне дійсне число σ є сингулярним числом для M тоді і тільки тоді, коли існують вектори одиничної довжини u ∈ Km, v ∈ Kn що виконується:
Вектори u та v називаються відповідно сингулярним зліва вектором та сингулярним справа вектором для σ.
Для матриці M існує наступне представлення, що називається сингулярним розкладом матриці:
де U — унітарна матриця розміру m×m над полем K, V* — ермітове спряження унітарної матриці матриці V розміру n×n над полем K, Σ — діагональна матриця розміру m×n з числами σ на діагоналі, числа σ зазвичай розташовують в спадаючому порядку, тому матриця Σ однозначно визначається матрицею M.
Сингулярні числа, для яких існують два і більше лінійно незалежних сингулярних векторів називаються виродженими.
Невироджені сингулярні числа мають по одному лівому та правому сингулярному вектору з точністю до множника eiφ (в випадку дійсних чисел з точністю до знака).
Властивості Стовпці U та V є сингулярними зліва та сингулярними справа векторами для M відповідно.
Кількість ненульових чисел на діагоналі матриці Σ рівне rank Σ = rank M = r (ранг), тому можна скоротити матриці U та V до r стовпців, а матрицю Σ до розміру r×r і отримаємо:
Зв'язок SVD з власними значеннями матриці SVD існує для всіх прямокутних матриць, на відміну від власних векторів і розкладу по ньому, що існує тільки для деяких квадратних матриць.
Використавши формулу SVD для M та M*, отримаємо:
Права сторона є розкладом по власних векторах лівої сторони: Ненульові елементи Σ² є власними значеннями для матриць та тому ці матриці є невід'ємноозначеними (частковий випадок ермітових матриць); Стовпці матриці U є власними векторами матриці ; Стовпці матриці V є власними векторами матриці .
Цей же результат також можна отримати з визначення сингулярних значень і векторів:
Псевдоінверсія Якщо матрицю можна розкласти як , то її псевдообернена матриця буде дорівнювати
де Σ+ — матриця утворена транспонуванням Σ і заміною всіх її ненульових діагональних елементів на обернені.
Зв'язок SVD з ортогонально-проєкційними матрицями — розклад ортогонально-проєкційної матриці(проєктора) в суму проєкторів,
Див. також Теорія матриць Розклад матриці Метод найменших квадратів Метод головних компонент
Джерела