В інтегральному численні комплексні числа та формула Ейлера можуть бути використані для знаходження інтегралів, що містять тригонометричні функції. Використовуючи формулу Ейлера, будь-яка тригонометрична функція може бути записана через експоненціальні функції та , а потім проінтегрована. Цей спосіб часто простіший і швидший, ніж використання тригонометричних тотожностей або інтегрування частинами, і є досить ефективним для інтегрування будь-якого раціонального виразу, що містить тригонометричні функції.
Формула Ейлера
Формула Ейлера стверджує, що . Підстановка замість дає рівняння , оскільки косинус — парна, а синус — непарна функції. Ці два рівняння можна розв'язати відносно синуса та косинуса: .
Приклади Перший приклад Розглянемо інтеграл . Стандартний підхід до цього інтегралу полягає у використанні формули половинного кута для спрощення підінтегральної функції. Однак, можна використовувати тотожність Ейлера замість цього:
На цьому етапі можливий перехід до дійсних чисел за формулою . Крім того, можливе інтегрування комплексних експонент без повернення до тригонометричних функцій:
Другий приклад Розглянемо інтеграл . Знаходження цього інтегралу за допомогою тригонометричних тотожностей досить громіздке, але використання тотожності Ейлера робить його відносно нескладним:
На цьому етапі можна одразу використати метод безпосереднього інтегрування, або спочатку замінити підінтегральну функцію на і продовжити інтегрування. Будь-який з методів дає .
Використання дійсної частини Крім тотожності Ейлера може бути корисним використання дійсної частини комплексного виразу. Наприклад, розглянемо інтеграл . Оскільки — дійсна частина функції , то
Інтеграл праворуч легко знайти:
Отже,
Дроби Загалом, цей метод може бути використаний для обчислення будь-яких дробивих виразів, що містять тригонометричні функції. Наприклад, розглянемо інтеграл . Використовуючи тотожність Ейлера, отримаємо . Якщо виконати підстановку , то отримаємо інтеграл від дробово-раціональної функції: . Будь-яка раціональна функція є інтегрованою (наприклад, використовуючи елементарні дроби), і тому будь-який дріб, що містить тригонометричні функції, також може бути інтегрованим.
Див. також
Підстановка тангенса половинного кута Підстановки Ейлера
Примітки