Задача про чотири куби полягає в знаходженні всіх цілочисельних розв'язків діофантового рівняння :
Слід зазначити, що попри те, що запропоновано кілька повних розв'язків цього рівняння в раціональних числах, його повний розв'язок у цілих числах на 2018 рік невідомий.
Історія Ще Платон знав, що сума кубів сторін піфагорійського трикутника також є кубом , про що він згадує в своїй «Державі».
Приклади цілочисельних розв'язків Найменші натуральні розв'язки:
Якщо дозволити від'ємні значення, то мають місце рівності:
Повні раціональні параметризації Ґ. Гарді і Райт (1938)Цитата из раздела «1.3.7 Уравнение » из книги Харди и Райта
Н. Елкіс
Інші серії розв'язків
Леонард Ейлер (1740)
Линник (1940)
Roger Heath-Brown (1993)
(1956)
Розв'язок, отриманий методом алгебричної геометрії
Рамануджан
Невідомий автор (1825)
(1955)
В. Б. Лабковський
Гарді і Райт
Г. Александров (1972)
Ajai Choudhry (1998)Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes . Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251—1257.
де числа — довільні цілі, а число вибрано так, щоб виконувалася умова .
Коров'єв (2012)
де , і — будь-які цілі числа.У багатьох випадках числа мають спільні дільники. Щоб отримати примітивну четвірку чисел, досить скоротити кожне з чисел на їхній найбільший спільний дільник.
Див. також Гіпотеза Ейлера Піфагорова четвірка Сума трьох кубів
Примітки
Література
Решение Лабковского (Задание № 2)
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.