В математичній теорії вузлів сателітний вузол — це вузол, що містить у своєму доповненні тор, що не є Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, (2001), . Кожен вузол є або гіперболічним, або торичним, або сателітним. До класу сателітних вузлів належать складені вузли, кабельні вузли та дублі Вайтгеда. (Див. означення останніх двох класів нижче в розділі Основні сімейства). Сателітне зачеплення — це зачеплення, яке обертається навколо супровідного вузла K в тому сенсі, що воно лежить усередині його регулярного околу.
Сателітний вузол можна наочно описати так: візьміть нетривіальний вузол , що лежить всередині незавузленого повнотора . Тут «нетривіальний» означає, що вузол не може лежати в 3-сфері, яка міститися у і не може бути ізотопним центральній кривій суцільного тора. Потім повнотор зав'яжіть у нетривіальний вузол.
Це означає, що існує нетривіальне вкладення і . Центральна крива повнотора переходить на вузол , який називається «супровідним вузлом» і грає роль планети, навколо якої облітає «сателітний вузол» . Побудова гарантує, що — не нестисливий тор у доповненні до . Складені вузли містять особливий вид нестисного тора — охопно-ковзний () — який охоплює один доданок та проходить уздовж іншого.
Якщо — незавузлений повнотор, то є трубчастим околом безвузла . Двокомпонентне з'єднання разом із вкладенням називається шаблоном, пов'язаним із сателітною операцією.
Домовленість: зазвичай вимагається, що вбудовування розкручене в тому сенсі, що необхідно надіслати стандартну довготу до стандартної довготи . Іншими словами, для будь-яких двох неперетинних кривих , зберігає їхні числа зв'язків, тобто: .
Основні сімейства Якщо — торичний вузол, то називають кабельним вузлом. Приклади 3 і 4 є кабельними вузлами.
Якщо — нетривіальний вузол в і якщо диск стиснення для перетинає рівно в одній точці, то називають сумою підключення. Іншими словами, візерунок є сумою нетривіального вузла з зачеплення Гопфа.
Якщо зачеплення — зачеплення Вайтгеда, то називають дублем Вайтгеда. Якщо розкручений, називають розкрученим дублем Вайтгеда.
Приклади Приклад 1: Сума з'єднання вузла-вісімки і трилистника.
Приклад 2: Розкручений дубль Вайтгеда вісімки.
Приклад 3: Кабельна сума.
Приклад 4: Кабельний трилисник.
Приклади 5 і 6 є варіантами однієї конструкції. Обидва вони мають у своїх доповненнях два непаралельних, не ∂-паралельних нестисливих тори, що розбивають доповнення на об'єднання трьох многовидів. У прикладі 5 ці многовиди: доповнення кілець Борромео, доповнення трилисника та доповнення вісімки. У прикладі 6 доповнення до вісімки замінено ще одним доповненням трилисника.
Походження 1949 рокуSchubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57–104. довів, що кожен орієнтований вузол в розкладається як сума простих вузлів унікальним способом, аж до переупорядкування, роблячи моноїд орієнтованих ізотопічних класів вузлів у вільним комутативним моноїдом на зліченно-нескінченній кількості твірних. Незабаром після цього він зрозумів, що може надати нове доведення своєї теореми шляхом ретельного аналізу нестисливих торів, присутніх у доповненні суми. Це привело його до вивчення нестисливих торів у доповненнях вузлів у його відомій роботі Knoten und VollringeSchubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131—286., де він визначив сателітні та супровідні вузли.
Подальші роботи Демонстрація Шубертом того, що нестисливі тори відіграють важливу роль у теорії вузлів, була однією з ранніх ідей, що привели до об'єднання теорії і теорії вузлів. Це привернуло увагу , який пізніше використав нестисливі поверхні, щоб показати, що великий клас 3-многовидів гомеоморфний тоді і тільки тоді, коли їхні фундаментальні групи ізоморфні.Waldhausen, F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large.Ann. of Math. (2) 87 (1968), 56–88. Вальдгаузен припустив розклад 3-многовидів уздовж сфер і нестисливих торів, відомий зараз як . Пізніше це стало основним компонентом розвитку геометризації, яку можна розглядати як часткову класифікацію 3-вимірних многовидів. Відгалуження теорії вузлів вперше описано в довго не публікованому рукописі Бонахона і F.Bonahon, L.Siebenmann, New Geometric Splittings of Classical Knots, and the Classification and Symmetries of Arborescent Knots, .
Унікальність сателітної декомпозиції У роботі Knoten und Vollringe Шуберт довів, що в деяких випадках існує по суті унікальний спосіб подати вузол як сателітний. Але є також багато відомих прикладів, коли розклад не є унікальнимMotegi, K. Knot Types of Satellite Knots and Twisted Knots. Lectures at Knots '96. World Scientific.. З належним чином розширеним поняттям сателітної операції, що називається сплайсингом, розклад Жако — Шалена — Йогансона дає відповідну теорему унікальності для сателітних вузлів.Eisenbud, D. Neumann, W. Three-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities. Ann. of Math. Stud. 110Budney, R. JSJ-decompositions of knot and link complements in S³. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3–4 (2006). arXiv: math.GT/0506523
Див. також Гіперболічний вузол Торичний вузол
Примітки