У математиці поверхня Шерка (на честь Генріха Шерка) є прикладом мінімальної поверхні. Шерк описав дві повні вкладені мінімальні поверхні в 1834 роціH.F. Scherk, Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 13 (1835) pp. 185—208 ; його перша поверхня є подвійно періодичною поверхнею, друга — одноперіодичною. Вони були третім нетривіальним прикладом мінімальних поверхонь (першими двома були катеноїд і гелікоїд)http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Scherk.html. Дві поверхні є спряженими одна з одною.

Поверхні Шерка виникають при вивченні деяких граничних задач мінімальних поверхонь і при вивченні гармонійних дифеоморфізмів гіперболічного простору.

Перша поверхня Шерка Перша поверхня Шерка є асимптотичною для обидвох взаємноортогональних нескінченних сімейств паралельних площин, які зустрічаються в околі z=0 у шаховому порядку перемикаючих арок. Вона містить нескінченну кількість прямих вертикальних ліній.

Побудова простої поверхні Шерка

Розглянемо таку задачу мінімальної поверхні на квадраті в евклідовій площині: для натурального числа n знайдимо мінімальну поверхню Σ n задану графіком певної функції

такий, що

Тобто u n задовольняє рівняння мінімальної поверхні

і

Чим, якщо існує, є гранична поверхня, якщо n прямує до нескінченності? Відповідь дав Г. Шерк у 1834 р.: гранична поверхня Σ є графіком

Тобто поверхня Шерка на квадраті є

Більш загальні поверхні Шерка Подібні задачі мінімальної поверхні можна розглядати й на інших чотирикутниках евклідової площини. Цю ж задачу можна також розглянути про чотирикутники в гіперболічній площині. У 2006 році Гарольд Розенберг і Паскаль Коллін використовували гіперболічні поверхні Шерка для побудови гармонійного диффеоморфізму з комплексної площини на гіперболічну площину (одиничний диск з гіперболічною метрикою), тим самим спростувавши гіпотезу Шоена–Яу .

Друга поверхня Шерка

Друга поверхня Шерка глобально виглядає як дві ортогональні площини, перетин яких складається з послідовності тунелів у позмінних напрямках. Її перетини з горизонтальними площинами урворють гіперболи.

Задається неявним рівнянням:

Вона має параметризацію Вейєрштрасса-Еннепера , і її можна параметризувати:Eric W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., CRC press 2002

для і . Це дає один період поверхні, який потім можна симетрично розширити по осі z.

Поверхня була узагальнена Г. Карчером до сідловидної вежі — сімейства періодичних мінімальних поверхонь.

Цю поверхню в літературі іноді називають п'ятою поверхнею ШеркаNikolaos Kapuoleas, Constructions of minimal surfaces by glueing minimal immersions. In Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, June 25-July 27, 2001 p. 499David Hoffman and William H. Meeks, Limits of minimal surfaces and Scherk's Fifth Surface, Archive for rational mechanics and analysis, Volume 111, Number 2 (1990). Аби знизити можливості для плутанини, можна називати її одноперіодичною поверхнею Шерка або вежею Шерка.

Примітки

Посилання

Scherk's first surface in MSRI Geometry Scherk's second surface in MSRI Geometry Scherk's minimal surfaces in Mathworld