Wariancja Allana (oznaczana , AVAR) jest statystyczną miarą stabilności częstotliwości zegarów, oscylatorów i innych wzorców częstotliwości. Nazwa pochodzi od Davida W. Allana, który zaproponował tę wielkość w 1966 roku.
Ponieważ wariancja Allana zależy od czasu uśredniania w praktyce przedstawia się ją zwykle jako funkcję tego parametru, a nie jako pojedynczą liczbę. Jej pierwiastkiem kwadratowym jest odchylenie Allana (, ADEV), często używane w wykresach i przy porównywaniu jakości źródeł częstotliwości.
Wariancja Allana należy do szerszej rodziny statystyk stabilności częstotliwości, obejmującej także kilka wariantów pokrewnych stosowanych zależnie od rodzaju szumu i celu analizy.
Tło metrologiczne W badaniach generatorów kwarcowych i zegarów atomowych szybko okazało się, że ich niestabilność nie ma charakteru wyłącznie białego szumu, lecz obejmuje też szum migotliwy i inne procesy szumowe opisywane prawami potęgowymi. W takich warunkach klasyczna wariancja i odchylenie standardowe nie dawały wygodnych, stabilnych i łatwo porównywalnych oszacowań, zwłaszcza gdy analizowano dłuższe szeregi pomiarowe stabilności częstotliwości.
Problem miał wymiar praktyczny: różne metody pomiaru i różne konfiguracje aparatury mogły prowadzić do wyników trudnych do porównania między laboratoriami oraz między producentami wzorców częstotliwości. Wariancja Allana została przyjęta właśnie jako miara lepiej dostosowana do opisu stabilności częstotliwości w dziedzinie czasu i z czasem stała się jedną z podstawowych statystyk metrologii czasu i częstotliwości.
Definicja Wariancja Allana jest zdefiniowana jako połowa wartości oczekiwanej kwadratu różnicy między dwiema kolejnymi średnimi wartościami znormalizowanej odchyłki częstotliwości:
Jeżeli oznacza kolejne próbki błędu czasu, równoważnie można zapisać:
W praktyce oznacza to, że miara ta opisuje, jak silnie zmienia się średnia częstotliwość sygnału między sąsiednimi przedziałami długości . Im mniejsza wartość wariancji Allana dla danego tym większa stabilność badanego źródła w tej skali czasu.
Wielkości powiązane W analizie stabilności częstotliwości używa się zwykle kilku ściśle powiązanych wielkości: błędu czasu chwilowej częstotliwości oraz znormalizowanej odchyłki częstotliwości . Jeśli oznacza częstotliwość nominalną badanego źródła, to częstotliwość ułamkowa jest określona wzorem
a błąd czasu można zapisać jako różnicę między czasem idealnym a rzeczywistym przebiegiem badanego sygnału:
gdzie oznacza całkowitą fazę sygnału. Średnia znormalizowana odchyłka częstotliwości w oknie obserwacji ma postać
a równoważnie, po zapisaniu jej przez błąd czasu,
co pokazuje, że wariancja Allana może być obliczana zarówno z szeregu częstotliwości, jak i z szeregu błędów czasu.
Uogólnienie i estymacja W ujęciu ogólniejszym Allan zaproponował także -próbkową wariancję częstotliwości, zapisywaną jako . Umożliwia ona opis estymatorów wykorzystujących większą liczbę próbek oraz przypadków, w których odstęp między kolejnymi pomiarami nie jest równy czasowi obserwacji czyli gdy w pomiarze występuje czas martwy.
Dla skończonej serii danych wariancję Allana zastępuje się estymatorem. Jeśli dostępny jest ciąg kolejnych średnich częstotliwości ułamkowych to dla przypadku najprostszy estymator ma postać:
Równoważnie, gdy do dyspozycji jest ciąg próbek błędu czasu można użyć zapisu:
Takie estymatory odpowiadają podstawowemu interwałowi próbkowania. W praktyce zwykle oblicza się też wariancję Allana dla dłuższych czasów uśredniania gdzie jest krokiem bazowym pomiaru. Najprostsze estymatory nienakładające się odrzucają wtedy znaczną część danych, dlatego w metrologii częściej stosuje się estymatory nakładające się, wykorzystujące wszystkie możliwe okna długości .
Dla szeregu błędów czasu estymator nakładający się można zapisać jako:
W praktyce największe znaczenie ma nadal klasyczna postać wariancji Allana dla pomiarów bez martwego czasu, gdzie . W zastosowaniach obliczeniowych najczęściej preferuje się estymatory nakładające się, ponieważ lepiej wykorzystują dostępne dane, zmniejszają niepewność oszacowania dla większych wartości i stały się standardem w praktyce metrologicznej oraz telekomunikacyjnej.
Interpretacja i zastosowania Wariancja Allana została opracowana dla analizy niestabilności częstotliwości w zegarach atomowych i oscylatorach, zwłaszcza tam, gdzie klasyczna wariancja lub odchylenie standardowe zawodzą z powodu obecności szumów o charakterze potęgowym. Miara ta służy przede wszystkim do opisu niestabilności losowych, a nie błędów systematycznych, takich jak długookresowy dryf częstotliwości albo wpływ zmian temperatury.
Wykres odchylenia Allana w funkcji czasu uśredniania, zwykle przedstawiany w skali logarytmicznej, pozwala rozróżniać różne reżimy szumowe i oceniać, w jakim zakresie czasu dany wzorzec częstotliwości pracuje najstabilniej. Z tego powodu statystyka ta jest stosowana nie tylko dla zegarów atomowych, lecz także dla generatorów kwarcowych, układów synchronizacji, źródeł odniesienia w telekomunikacji oraz innych precyzyjnych źródeł częstotliwości.
W polskiej literaturze technicznej odchylenie Allana jest stosowane między innymi do wyznaczania niestabilności częstotliwości wzorców czasu i częstotliwości na podstawie pomiarów komparatorem fazy i częstotliwości. Niska wartość odchylenia Allana dla ustalonego czasu obserwacji oznacza, że względne wahania częstotliwości między kolejnymi pomiarami są małe, a więc źródło jest stabilne w tej konkretnej skali czasu.
Relacja do innych miar W praktyce metrologicznej wariancja Allana nie zastępuje wszystkich innych miar jakości sygnału, lecz uzupełnia je w zakresie analizy stabilności średnio- i długookresowej. Dla bardzo krótkich czasów obserwacji, zwłaszcza poniżej około jednej sekundy, często wygodniej opisuje się źródła częstotliwości za pomocą szumu fazowego lub gęstości widmowej mocy szumu, natomiast dla dłuższych czasów odchylenie Allana daje bardziej użyteczną charakterystykę zmian częstotliwości w dziedzinie czasu.
Ta komplementarność ma znaczenie praktyczne: dwa oscylatory mogą mieć podobny poziom szumu fazowego blisko nośnej, a mimo to różnić się stabilnością dla większych albo odwrotnie. Z tego względu pełna ocena wzorca częstotliwości zwykle łączy kilka miar, z których wariancja Allana pozostaje jedną z podstawowych dla porównywania zachowania w czasie.
Gdy kluczowa jest stabilność w dziedzinie czasu, a nie samej częstotliwości, stosuje się też statystyki pokrewne, takie jak odchylenie czasu (TDEV) i wariancja czasu (TVAR), wyprowadzane z modyfikacji wariancji Allana. Miary te są szczególnie użyteczne przy ocenie systemów synchronizacji i dystrybucji czasu, gdzie bezpośrednio interpretuje się błąd czasu, a nie tylko względną odchyłkę częstotliwości.
Reżimy szumowe Jedną z najważniejszych zalet wariancji i odchylenia Allana jest to, że nachylenie wykresu w skali logarytmicznej pozwala rozpoznawać dominujący typ szumu w różnych zakresach czasu uśredniania. Dla białego szumu częstotliwości odchylenie Allana maleje w przybliżeniu jak dla szumu migotliwego częstotliwości pozostaje w przybliżeniu stałe, a dla losowego błądzenia częstotliwości rośnie w przybliżeniu jak .
Na bardzo krótkich skalach czasu widoczne bywają także reżimy zdominowane przez szum fazowy, które zwykle dają jeszcze bardziej stromy spadek wykresu. Z kolei przy bardzo dużych wyraźny wzrost odchylenia może wskazywać już nie tyle na losowe wahania, ile na dryf częstotliwości albo inne powolne zmiany warunków pracy źródła.
Przy bardzo krótkich czasach uśredniania zwykła wariancja Allana dobrze ujawnia obecność szumów fazowych, ale sama nie rozróżnia wiarygodnie białego i migotliwego szumu fazy. W takich sytuacjach stosuje się zmodyfikowaną wariancję Allana, która dzięki dodatkowemu uśrednianiu lepiej separuje te dwa reżimy.
Ograniczenia pomiarowe Interpretacja wyników zależy nie tylko od badanego źródła, lecz także od warunków pomiaru. Istotne są zwłaszcza szerokość pasma układu pomiarowego, ewentualny martwy czas między kolejnymi obserwacjami oraz łączna długość rejestrowanego szeregu. Jeśli czas uśredniania jest zbyt krótki względem efektywnego pasma aparatury, wynik dla szybkich składowych szumu może zależeć od właściwości toru pomiarowego, a nie wyłącznie od badanego oscylatora lub zegara.
Osobnym problemem jest martwy czas między próbkami. Klasyczna postać wariancji Allana zakłada pomiary bez przerw, czyli sytuację gdy między kolejnymi obserwacjami występuje przerwa, estymator może być obciążony i wymaga odpowiedniej korekty albo zastosowania licznika bez martwego czasu. W praktyce przed analizą często usuwa się też liniowy dryf częstotliwości, ponieważ statystyka Allana tłumi przesunięcie stałe i offset częstotliwości, ale nie eliminuje w pełni trendów długookresowych.
Niepewność estymacji i przedziały ufności Wartości wariancji Allana dla dużych są zwykle obarczone znacznie większą niepewnością niż punkty dla małych czasów uśredniania, ponieważ liczba dostępnych par próbek szybko maleje wraz ze wzrostem . Z tego powodu wynik powinien być interpretowany razem z długością serii pomiarowej, a w zastosowaniach praktycznych często pokazuje się także przedziały ufności albo przynajmniej uwzględnia efektywną liczbę stopni swobody estymatora.
Aby lepiej wykorzystać skończony zbiór danych, w praktyce preferuje się estymatory nakładające się, które dla tych samych pomiarów dają zwykle stabilniejsze oszacowania niż estymatory nienakładające się. Przy bardzo długich czasach uśredniania albo przy danych silnie obciążonych dryfem stosuje się też pokrewne statystyki, takie jak wariancja totalna czy wariancja Hadamarda, traktowane jako uzupełnienie klasycznej wariancji Allana.
Niepewność estymatora wariancji Allana opisuje się zwykle za pomocą przedziałów ufności wyznaczanych z wykorzystaniem rozkładu chi-kwadrat i efektywnej liczby stopni swobody. Wielkość tych przedziałów zależy od dominującego rodzaju szumu, długości serii pomiarowej oraz od tego, czy użyto estymatora nakładającego się, czy nienakładającego się.
W praktyce oznacza to, że dwa punkty o podobnej wartości odchylenia Allana nie muszą mieć takiej samej wiarygodności statystycznej. Dla dużych słupki błędów lub przedziały ufności mogą być na tyle szerokie, że ostrożna interpretacja wykresu staje się równie ważna jak sama wartość estymatora.
Pomiar i obróbka danych Typowy pomiar stabilności częstotliwości polega na porównaniu badanego źródła z odniesieniem o wyraźnie lepszej stabilności i na rejestracji szeregu błędów czasu albo średniej częstotliwości ułamkowej w równych odstępach. W zastosowaniach laboratoryjnych wykorzystuje się do tego między innymi liczniki interwału czasu oraz komparatory fazy i częstotliwości, a następnie programową obróbkę zarejestrowanych próbek.
Po zebraniu danych wykonuje się kontrolę błędów pomiaru, ewentualne usunięcie dryfu oraz obliczenie odchylenia Allana dla kolejnych czasów uśredniania zwykle prezentowanego na wykresie logarytmiczno-logarytmicznym. W analizie stabilności czasu używa się też statystyk pokrewnych, takich jak odchylenie czasu (TDEV), jednak podstawowym narzędziem porównywania wzorców częstotliwości pozostaje nadal odchylenie Allana.
W praktycznym opracowaniu danych istotne jest, by próbki tworzyły możliwie jednorodny szereg czasowy i by jasno określić podstawowy interwał pomiarowy, z którego buduje się kolejne wartości . Najczęściej analizuje się ciąg czasów uśredniania będących wielokrotnościami albo potęgami dwójki czasu bazowego, co ułatwia porównanie punktów wykresu i ogranicza niejednoznaczności obliczeniowe.
Przed obliczeniem statystyki zwraca się też uwagę na odstające błędy pomiarowe, przerwy w rejestracji oraz na to, czy badany szereg reprezentuje fazę, czas czy częstotliwość ułamkową. Błędy na tym etapie mogą prowadzić do pozornych zmian nachylenia wykresu i do błędnej identyfikacji dominującego typu szumu.
Historia i warianty