Nierówność Bohra (także twierdzenie Bohra o szeregach potęgowych) – twierdzenie analizy zespolonej ograniczające sumę modułów wyrazów szeregu potęgowego funkcji holomorficznej i ograniczonej w kole jednostkowym. Jeżeli
jest funkcją holomorficzną w kole jednostkowym
to
gdzie
Stała jest optymalna: nie można jej zastąpić żadną większą stałą obowiązującą dla wszystkich ograniczonych funkcji holomorficznych.
Największą liczbę , dla której odpowiednia nierówność obowiązuje w danej klasie funkcji, nazywa się w tym kontekście promieniem Bohra. Termin ten nie oznacza fizycznego promienia Bohra występującego w fizyce atomowej.
Sformułowanie Niech oznacza przestrzeń ograniczonych funkcji holomorficznych w . Dla funkcji
definiuje się jej szereg majorantowy
Klasyczna nierówność Bohra stwierdza, że
dla każdego . Jeżeli funkcję unormuje się tak, aby
to twierdzenie przyjmuje postać
Interpretacja Wartość funkcji
może być mała wskutek wzajemnego znoszenia się składników o różnych argumentach zespolonych. W szeregu majorantowym zastępuje się jednak każdy współczynnik jego modułem, przez co usuwa się wszystkie takie efekty kompensacji:
Nierówność Bohra mówi, że dostatecznie blisko środka koła – dokładnie dla – nawet po usunięciu wszystkich możliwych znoszeń suma modułów wyrazów nie przekracza normy funkcji. Jest to zatem rezultat łączący globalne ograniczenie funkcji z bezwzględnymi wartościami wszystkich jej współczynników Taylora.
Dowód klasycznej nierówności Po przeskalowaniu funkcji wystarczy rozpatrzyć przypadek
Oszacowanie współczynników Podstawowym składnikiem dowodu jest nierówność
Jeżeli , to na mocy zasady maksimum funkcja jest stała i twierdzenie jest natychmiastowe. Można więc założyć, że .
Dla ustalonego niech
oraz
Uśrednienie usuwa wszystkie wyrazy, których stopień nie jest wielokrotnością , wobec czego
Ponieważ koło jednostkowe jest wypukłe, funkcja również przyjmuje wartości w .
Złożenie jej z automorfizmem koła jednostkowego
jest funkcją holomorficzną odwzorowującą w siebie i mającą w zerze miejsce zerowe rzędu co najmniej . Z uogólnionej postaci lematu Schwarza wynika więc
Współczynnik przy w rozwinięciu jest równy
a zatem
Oszacowanie szeregu majorantowego Oznaczmy . Korzystając z powyższego oszacowania współczynników, dla otrzymuje się
Jeżeli , to
więc
Dowodzi to nierówności Bohra dla .
Optymalność stałej Ostrość stałej pokazuje rodzina automorfizmów koła jednostkowego
Jej rozwinięcie ma postać
a zatem
Nierówność
jest równoważna warunkowi
Dla każdej liczby można wybrać dostatecznie bliskie jedności, aby powyższy warunek był spełniony. Nie istnieje więc uniwersalny promień większy od .
Postać odległościowa Dla funkcji
odwzorowującej w siebie klasyczną nierówność można zapisać równoważnie jako
Prawa strona jest odległością punktu od brzegu obrazu.
Ta postać prowadzi do uogólnień na funkcje przyjmujące wartości w innych dziedzinach. Jeżeli jest funkcją jednolistną w , a
jest jej podporządkowana, co zapisuje się
to istnieje funkcja holomorficzna , dla której
W takiej sytuacji zachodzi nierówność
dla
Stała jest optymalna w ogólnej klasie funkcji jednolistnych; funkcją ekstremalną jest funkcja Koebego
Jeżeli natomiast dziedzina jest wypukła, promień można zwiększyć do .
Historia Harald Bohr sformułował twierdzenie w pracy z 1914 roku, powstałej w związku z jego badaniami nad bezwzględną zbieżnością szeregów Dirichleta. W pierwotnym dowodzie otrzymał promień .
Optymalną wartość uzyskali następnie, niezależnie od siebie, Marcel Riesz, Issai Schur i Friedrich Wilhelm Wiener. W części późniejszej literatury inicjał F. Wienera został błędnie rozwinięty jako Norbert Wiener. Harold Boas i Dmitry Khavinson wykazali, że Bohr odwoływał się do niemieckiego matematyka Friedricha Wilhelma Wienera.
Późniejsze dowody i rozszerzenia nierówności podali między innymi Simon Sidon, Miodrag Tomić oraz Vern Paulsen, Gelu Popescu i Dinesh Singh. Ci ostatni otrzymali dowód operatorowy oparty na nierówności von Neumanna, umożliwiający przejście do sytuacji wielowymiarowych i nieprzemiennych.
Związek z szeregami Dirichleta Początkową motywacją Bohra był problem bezwzględnej zbieżności szeregu Dirichleta
Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze
pozwala utożsamić wyraz z jednomianem
Konstrukcja ta, określana jako transformata Bohra, wiąże szeregi Dirichleta z szeregami potęgowymi nieskończenie wielu zmiennych.
Zależność między bezwzględną zbieżnością szeregów Dirichleta a nierównościami dla współczynników wielomianów doprowadziła później między innymi do nierówności Bohnenblusta–Hille’a. Współczesne badania nad wielowymiarowym promieniem Bohra korzystają z oszacowań stałych w tej nierówności.
Uogólnienia Funkcje o szczególnej symetrii Jeżeli funkcja ma rozwinięcie zawierające jedynie potęgi będące wielokrotnościami ustalonej liczby ,
oraz w , to
dla
Promień jest optymalny. Wynik ten otrzymuje się z klasycznej nierówności po podstawieniu .
Kilka zmiennych zespolonych Dla wielodysku
rozważa się rozwinięcia
gdzie
Promieniem Bohra wielodysku nazywa się największą liczbę , dla której
dla wszystkich funkcji holomorficznych i ograniczonych w .
Dla zachodzi . Frédéric Bayart, Daniel Pellegrino i Juan B. Seoane-Sepúlveda wykazali dokładną asymptotykę
Ich dowód wykorzystuje podwykładnicze oszacowania stałych w wielomianowej nierówności Bohnenblusta–Hille’a.
Wersje operatorowe i nieprzemienne Nierówność Bohra można formułować dla funkcji o wartościach operatorowych oraz dla wielomianów nieprzemiennych. Paulsen, Popescu i Singh przedstawili dowód klasycznej nierówności wykorzystujący nierówność von Neumanna i rozszerzyli metody na kilka zmiennych oraz struktury nieprzemienne.
Bada się również promienie Bohra dla funkcji o wartościach w przestrzeniach Banacha, gdzie moduły współczynników zastępuje się ich normami. Wartość promienia może wówczas zależeć od geometrycznych własności przestrzeni wartości.
Inne klasy odwzorowań Zjawisko Bohra badano także dla: odwzorowań harmonicznych i logharmonicznych; funkcji jednolistnych, gwiaździstych i wypukłych; funkcji przyjmujących wartości w przebitym kole jednostkowym lub na zewnątrz domkniętego koła; metryki sferycznej i metryki hiperbolicznej zamiast odległości euklidesowej; dziedzin Reinhardta i innych dziedzin w przestrzeniach wielu zmiennych zespolonych.
Wspólnym elementem tych problemów jest wyznaczenie największego obszaru, w którym suma odpowiednio rozumianych norm współczynników pozostaje kontrolowana przez geometryczną lub normową wielkość związaną z obrazem funkcji.
Zobacz też szereg potęgowy funkcja holomorficzna lemat Schwarza szereg Dirichleta nierówność Bohnenblusta-Hille’a
Przypisy
Literatura Harald Bohr, A Theorem Concerning Power Series, „Proceedings of the London Mathematical Society”, 13, 1914, s. 1–5. Yusuf Abu Muhanna, Rosihan M. Ali, Saminathan Ponnusamy, On the Bohr Inequality, w: Progress in Approximation Theory and Applicable Complex Analysis, Springer, 2017, s. 269–300. Vern I. Paulsen, Gelu Popescu, Dinesh Singh, On Bohr’s Inequality, „Proceedings of the London Mathematical Society”, 85, 2002, s. 493–512. Harold P. Boas, Dmitry Khavinson, Bohr’s Power Series Theorem in Several Variables, „Proceedings of the American Mathematical Society”, 125, 1997, s. 2975–2979. Frédéric Bayart, Daniel Pellegrino, Juan B. Seoane-Sepúlveda, The Bohr radius of the n-dimensional polydisk is equivalent to sqrt((log n)/n), „Advances in Mathematics”, 264, 2014, s. 726–746.
Linki zewnętrzne Yusuf Abu Muhanna, Rosihan M. Ali i Saminathan Ponnusamy, On the Bohr Inequality Otwarta wersja pracy On the Bohr Inequality Harald Bohr, A Theorem Concerning Power Series Wielowymiarowy promień Bohra
Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Nierówności