Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie. Ten temat szerzej omówiony jest w artykule dotyczącym geometrii euklidesowej.
W matematyce rozważane są także inne geometrie, takie jak geometria powierzchni kuli. Pojęcie prostej można uogólnić także na tzw. geometrie nieeuklidesowe. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw. linie geodezyjne, czyli krzywe określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami. Według najogólniejszej definicji zatem: Prosta (geodezyjna) to nieposiadająca zakończeń krzywa o jednej gałęzi i zerowej krzywiźnie geodezyjnej w każdym punkcie (czyli zerowej pochodnej kowariantnej dla kierunku tej krzywej w każdym punkcie).
W pewnym więc sensie proste w dowolnych przestrzeniach nadal są liniami niezakrzywionymi.
Geometria euklidesowa thumb|Prosta, półprosta i odcinek. Oczywiście dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.
Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „niezakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”.
Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.
Definicja Euklidesa
Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który w III w. p.n.e. w swoim dziele Elementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.
Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej, kąta. Prostą definiował tak: linia jest długością bez szerokości, linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku.
Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np. „Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”.
Było to spowodowane próbą ominięcia trudności związanych z nieskończonością aktualną (prosta jako całość jest „nieskończona”) poprzez wyrażenie jej jako nieskończoność potencjalną (możliwość nieograniczonego przedłużania odcinka).
W starożytnej Grecji nie rozważano pojęcia nieskończoności, nastąpiło to dopiero w 1638, gdy Galileusz w swojej pracy „Discorsi” opisał linię jako składającą się z nieskończenie wielu punktów.
thumb|Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn leżących w tej samej przestrzeni trójwymiarowej.
Własności Przez dwa nieidentyczne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta. Prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie. Prosta na płaszczyźnie jest zbiorem punktów jednakowo oddalonych od dwóch ustalonych punktów. Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych. Ich zbiór zwany jest pękiem prostych. Każda prosta dzieli płaszczyznę, w której się zawiera, na dwa obszary (półpłaszczyzny) i jest brzegiem każdego z nich. Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane półprostymi. Najkrótsza droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej. Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn (zob. rysunek). Promień krzywizny (dla większej liczby wymiarów – wszystkie promienie krzywizny) w każdym jej punkcie jest nieskończony. Proste są jedynymi krzywymi gładkimi o zerowej krzywiźnie w każdym punkcie. Każda prosta ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Osią taką jest ona sama oraz każda prosta prostopadła do niej.
Niektóre ważne proste thumb|Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie
asymptota – prosta, do której dąży dana krzywa (w szczególności wykres funkcji) normalna – prosta prostopadła do stycznej w danym punkcie krzywej oś liczbowa – prosta skierowana z liczbą przyporządkowaną każdemu swojemu punktowi, używana np. jako oś współrzędnych oś obrotu – prosta, wokół której obraca się dane ciało, albo względem której dokonujemy obrotu matematycznej bryły prosta Cevy – prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przeciwległy bok. prosta Eulera prosta potęgowa – zbiór punktów, które mają równe potęgi względem dwóch różnych okręgów sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach styczna – potocznie i nieściśle: prosta „równoległa” do krzywej w danym punkcie i przechodząca przez ten punkt symetralna odcinka – prosta dzieląca odcinek na dwie równe części i prostopadła do niego oś symetrii – prosta, względem której można odbić daną figurę i otrzymać figurę identyczną środkowa – prosta łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego jego boku prosta Simsona
Prosta na płaszczyźnie (afinicznej) Prosta jest jednowymiarową podprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej n-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).
Jeśli dany jest punkt i niezerowy wektor to prostą generowaną przez wektor i przechodzącą przez punkt nazywamy zbiór punktów dla których istnieje liczba rzeczywista taka, że
Wektor nazywamy wektorem kierunkowym prostej.
Najmniejszą podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy
Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.
Równanie ogólne W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób: Dla pewnych liczb rzeczywistych przy czym i nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność:
Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor jest prostopadły do prostej. Jeśli to prosta jest równoległa do osi jeśli – do osi jeśli przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Współczynniki i nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla całą płaszczyznę, a dla zbiór pusty (nie ma rozwiązań).
Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:
lub jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.
thumb|Parametry równania normalnego prostej. Na niebiesko zaznaczony znormalizowany wektor kierunkowy (długości 1)
Równanie normalne Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki i przez długość (normę) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwych zwrotów tego wektora, np. tak jak poniżej:
gdzie to tzw. czynnik normujący: dla
lub dla
Dla można przyjąć dowolny znak.
Otrzymujemy w ten sposób tzw. równanie normalne, czyli równanie prostej położonej pod kątem do osi i odległej o od środka układu współrzędnych:
przy czym
Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem i ( jest wtedy zerem). Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.
thumb|Trzy równania w postaci kierunkowej i odpowiadające im proste. Proste czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy, a proste czerwona i zielona ten sam wyraz wolny
Równanie w postaci kierunkowej Jeśli prosta nie jest równoległa do osi rzędnych (Oy), równanie prostej można zapisać w tzw. postaci kierunkowej:
gdzie i to liczby rzeczywiste. tzw. współczynnik kierunkowy, jest równy tangensowi kąta między prostą a osią odciętych (OX) nazywanego kątem nachylenia prostej. Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą Dwie proste o tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe. Czerwona i niebieska prosta na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy. tzw. wyraz wolny, jest rzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych. Proste czerwona i zielona na wykresie mają ten sam wyraz wolny.
Równanie parametryczne Prosta o (niezerowym) wektorze kierunkowym przechodząca przez punkt to zbiór punktów takich że dla dowolnych
Innymi słowy:
W nowoczesnej geometrii analitycznej oznacza się to:
Rozpisując poszczególne składowe, możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci: thumb|Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty
Przy tym i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast i są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt a nie całą prostą.
Równanie kanoniczne Pod założeniami z poprzedniego ustępu, prostą można opisać równaniem:
W przypadku, gdy lub jest zerem, przydatne może być zapisanie równania w postaci:
Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty Gdy dane są dwa różne punkty i to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci:
lub w wersji parametrycznej:
gdzie przebiega wszystkie liczby rzeczywiste.
To samo równanie można przedstawić w postaci wyznacznika:
thumb|Parametry równania odcinkowego prostej
Dla równania ogólnego: będziemy mieli
Sprawdzenie, czy punkt (x,y) leży na linii Dla równania ogólnego należy po prostu sprawdzić, czy a w praktyce
Sprawdzenie równoległości albo punktu przecinania się dwóch linii Dostajemy albo wyliczamy postać normalną: Liczymy mianownik
Jeśli albo w praktyce linie są równoległe. Jeśli linie nie są równoległe, liczymy punkt przecięcia (x,y):
Linia równoległa przechodząca przez zadany punkt Dla linii jest z identycznymi A i B oraz C wyliczonym ze wzoru
Równanie odcinkowe Równanie prostej przecinającej oś w punkcie gdzie i oś w punkcie gdzie
Postać biegunowa równania Prostą można też wyrazić w biegunowym układzie współrzędnych Równanie prostej nie przechodzącej przez biegun przyjmuje wówczas postać
gdzie: jest odległością prostej od bieguna, to kąt między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna prostopadle do danej prostej, jest współrzędną punktu prostej – odległością od bieguna, jest współrzędną punktu prostej – kątem między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna do danego punktu.
Jeśli prosta przechodzi przez biegun, to jej równanie ma postać gdzie: to kąt między osią biegunową a prostą, jest dowolną liczbą całkowitą, – odległość od bieguna – może być wówczas dowolna.
Odległość punktu od prostej
Odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym:
Odległość punktu od prostej danej równaniem normalnym:
Wyrażenie ma wartość dodatnią, gdy punkt oraz początek układu współrzędnych leżą po przeciwnych stronach danej prostej, ujemną – jeśli leżą po tej samej stronie, i zero, jeśli leży na prostej.
Wzajemne położenie na płaszczyźnie Dla prostych danych równaniami
niech: