Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki długości boków trójkąta prostokątnego zależnie od miary jego kątów wewnętrznych. Funkcje te wywodzą się z geometrii, konkretniej planimetrii, ale są rozważane także w oderwaniu od niej, dla różnych argumentów rzeczywistych i zespolonych. To uogólnienie funkcji trygonometrycznych umożliwiła analiza matematyczna, w której opisano je szeregami potęgowymi. Powstały też inne definicje, oparte np. na równaniach różniczkowych, innych równaniach funkcyjnych, iloczynach nieskończonych oraz ułamkach łańcuchowych, podane w dalszych sekcjach.
Do funkcji trygonometrycznych zalicza się przede wszystkim sinus, kosinusużywa się też innej pisowni, przez c, co opisano dalej., tangens i kotangens; ale także sekans, kosekans (obecnie wyszłe z powszechnego użycia, w polskiej terminologii matematycznej) i kilka innych, wspominanych rzadziej. Funkcje trygonometryczne to główny przedmiot badań trygonometrii; jej dział poświęcony tym funkcjom nazywano goniometrią, przy czym termin ten ma też inne znaczenia. Badania te rozpoczęto w starożytności, a konkretniej starożytnej Grecji, po czym rozwijali ją uczeni indyjscy, islamscy i ze średniowiecznej Europy. W czasach nowożytnych podano dla tych funkcji: rozwinięcia w szeregi potęgowe, uogólnienia na argumenty zespolone, związki z funkcją wykładniczą takie jak wzór Eulera, rozwinięcia w iloczyny nieskończone.
Pierwotnie matematycy uważali wartości trygonometryczne za linie ciągłe połączone okręgami, jednak w XVIII wieku Leonhard Euler wprowadził współczesne pojęcie funkcji trygonometrycznych. Na przestrzeni stuleci podano dziesiątki tożsamości trygonometrycznych, które m.in. wiążą te funkcje ze sobą.
Funkcje trygonometryczne zalicza się do elementarnych i stosuje w różnych działach matematyki jak geometria, analiza i teoria liczb. Z funkcji tych korzystają też inne nauki ścisłe – zarówno przyrodnicze, społeczne, jak i techniczne. Jednym z powodów jest to, że funkcjami sinus i kosinus można modelować zjawiska okresowe jak drgania mechaniczne.
Definicje Istnieje kilka definicji funkcji trygonometrycznych, bazujących zarówno na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.
Przez trójkąt prostokątny thumb|Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji Funkcje trygonometryczne danego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym definiuje się jako stosunek długości odpowiednich dwóch boków tego trójkąta: +funkcjapolskie oznaczeniew innych językach stosuje się inne skróty, opisane w dalszej sekcji.definicjasinusprzyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i przeciwprostokątnej kosinusprzyprostokątnej przyległej do kąta i przeciwprostokątnej tangensprzyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta i przyprostokątnej przyległej do tego kątakotangensprzyprostokątnej przyległej do kąta i przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kątasekansprzeciwprostokątnej i przyprostokątnej przyległej do kąta kosekansprzeciwprostokątnej i przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta
Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki.:
Do tej listy włączano też kilka innych funkcji; upraszcza obliczanie odległości punktów na powierzchni Ziemi: +funkcjasymbol i definicjasinus versushaversin (ang. half of the versine)cosinus versusexsecans
Przez inne funkcje Funkcje trygonometryczne mają liczne powiązania między sobą, przez co można niektóre z nich definiować przez siebie wzajemnie, np.:
nie mylić z funkcją odwrotną
nie mylić z funkcją odwrotną
Przez okrąg jednostkowy i etymologia nazw thumb|Definicja na okręgu jednostkowym
Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków:
Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku można przyjąć pole wycinka – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do .
Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.
Sinus, czyli połowa długości cięciwy był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka. Wg innych danych nazwa "sinus" pochodzi od owej "połowy cięciwy", a mianowicie z wyrażenia "semichorda inscripta" (dosł. wpisana połowa cięciwy), co w skrócie opisywano s.ins, a później sinus.
Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek jest styczny do okręgu. Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka odcinanego przez styczną (tangens). Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego albo complementi semichorda inscripta, co w skrócie zapisywano co.s.ins. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.
Przez szereg Taylora thumb|Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora
Definicje za pomocą szeregów Taylora określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentneW przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0.. Definicje te są stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.
Zachodzą równości:
gdzie to liczby Bernoulliego,
gdzie to liczby Eulera,
Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera do tego mogą służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie, jeśli dziedzina przybliżanej funkcji nie jest zbiorem liczb rzeczywistych
Przez równania funkcyjne Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych taka, że dla każdego
Tymi funkcjami są twierdzenie 20.:
Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować. również jako jedyne funkcje oraz spełniające poniższe trzy warunki:
Przez równania różniczkowe Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego
które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).
Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki:
Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego
Przez iloczyny nieskończone Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych:
Przez ułamki łańcuchowe Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych:
Przez ogólniejsze funkcje Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego.
Własności w dziedzinie rzeczywistej Przebieg zmienności funkcji W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności: Dziedzina i asymptoty Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej. Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać gdzie jest liczbą całkowitą. Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci gdzie jest liczbą całkowitą. Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci a cotangens i cosecans w punktach postaci Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju. Przeciwdziedzina Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru. Ekstrema Maksymalną wartość, dla obu funkcji sinus przyjmuje w punktach a cosinus w punktach gdzie jest liczbą całkowitą. Minimalną wartość, dla obu funkcji sinus przyjmuje w punktach a cosinus w punktach gdzie jest liczbą całkowitą. Miejsca zerowe Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci gdzie jest liczbą całkowitą. Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci gdzie jest liczbą całkowitą. Parzystość i nieparzystość Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:
Okresowość Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba a tangensa i cotangensa .:
gdzie jest liczbą całkowitą. Ciągłość i różniczkowalność Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej). Odwracalność Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić funkcje do nich odwrotne. Własności algebraiczne Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi. Liczby oraz są liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci gdzie jest liczbą wymierną.
Wykresy Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.
Wartości dla typowych kątów Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 180°.: radiany stopnie nieokreślony nieokreślony nieokreślony nieokreślony nieokreślony nieokreślony
Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka liczba jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537). W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż a ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na jest identyczny jak warunek konstruowalności -kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).
Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału czyli :
I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka