Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe obiektu w obiekt zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).
Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie podzbioru „identycznego” z obiektem
Teoria kategorii W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, VectK, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościoweSemadeni, Wiweger, op. cit., s. 280–283..
Teoria mnogości W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru w zbiór jest funkcja różnowartościowa
Zbiór można wtedy utożsamić ze zbiorem gdzie
Twierdzenie Jeśli dla zbiorów i istnieją zanurzenia i
to istnieje funkcja różnowartościowa że Kuratowski, Mostowski, op. cit., s. 12–13..
Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.
Dowód
Można założyć, że jest podzbiorem a funkcja realizuje to zawieranie. Niech będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:
Niech Wtedy oraz
Funkcja
jest bijekcją, bo
skąd wynika, że jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz
skąd wynika, że jest surjekcją (czyli odwzorowaniem „na”)Janusz Kaja, O twierdzeniu Cantora-Bernsteina..
Topologia Topologia ogólna W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń nazywa się odwzorowanie takie że przestrzeń jest homeomorficzna ze swoim obrazem
Przykłady Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamkniętą zwyczajną (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni znajdując odwzorowanie różnowartościowe (zanurzenie), takie że obrazem okręgu jest pewna krzywa W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.
Mogą także przyjmować formy nieregularne.
Twierdzenie Jordana: Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniemWstęp do teorii mnogości i topologii, op. cit., s. 228–241..
Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową. thumb |center |350px |Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania
Topologia różniczkowa W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń jest dyfeomorfizm
Twierdzenie teorii rozmaitości gładkich Zwarta -wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości (tzn. razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową o wymiarze Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa Pontriagin, op. cit., s. 21–22..
Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.
Topologia metryczna Zanurzeniem przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną jest izometria
Algebra W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.
Teoria grup Homomorfizm grupy multiplikatywnej w grupę multiplikatywną jest zanurzeniem, jeśli
Przykłady Grupę obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych
gdzie dla kąta
Grupę można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej
Teoria ciał Każdy homomorfizm ciała w pierścień przemienny niezerowy jest zanurzeniem (jego obraz jest izomorficzny z ciałem ). W każdym ciele jest zanurzone albo ciało liczb wymiernych albo ciało -elementowe gdzie jest liczbą pierwszą. W pierwszym wypadku ciało ma charakterystykę 0, a w drugim – charakterystykę J. Browkin, op. cit., s. 65.. Każde ciało jest zanurzone w pewnym ciele algebraicznie domkniętym.
Teoria pierścieni Każdy pierścień bez dzielników zera można zanurzyć w jego pierścień ułamków.
Teoria modułów Niech będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multiplikatywnie zamkniętym w jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożeniaZamkniętość względem mnożenia oznacza, że jeśli . Niech będzie modułem nad pierścieniem Na iloczynie kartezjańskim można określić relację równoważności „”: ⇔ dla pewnego zachodzi równość
Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je a ich zbiór modułem ułamków Podobnie można określić pierścień ułamków Zbiór jest modułem nad pierścieniem Wtedy jeśli jest zanurzeniem modułu w moduł
to odwzorowanie
jest zanurzeniem i .
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Teoria kategorii Kategoria:Algebra abstrakcyjna Kategoria:Topologiczne własności funkcji Kategoria:Przestrzenie metryczne