Teoria punktów stałych – dział matematyki zajmujący się równaniami postaci , gdzie jest pewną funkcją. Podstawowe zagadnienie tej teorii to pytanie, przy jakich założeniach o zbiorze , oraz o samej funkcji , powyższe równanie ma rozwiązanie, nazywane dalej: punktem stałym. Bada się – oprócz wspomnianych kwestii – także własności zbiorów rozwiązań odpowiednich równań, o takiej właśnie postaci.
Problem ten ma wiele wariantów, gdyż: rozważana dziedzina może mieć najróżniejsze struktury – może to być np. przestrzeń topologiczna, metryczna lub zbiór uporządkowany; rozważana funkcja może mieć najróżniejsze własności – może być ciągła, zwężająca lub monotoniczna; funkcja f może działać z pewnego podzbioru w całą przestrzeń; zob. np. alternatywa Leraya-Schaudera dla przestrzeni Banacha.
Przez to teoria punktów stałych przenika się z innymi dyscyplinami jak analiza, topologia czy teoria porządku.
Udowodniono szereg twierdzeń o punkcie stałym – o istnieniu takich argumentów dla pewnych funkcji. Pierwsze z nich ogłoszono najpóźniej na początku XX wieku; przykładowo z 1910 roku pochodzi twierdzenie BrouweraL.E.J. Brouwer, Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich, „Math. Ann.”, 69 (1910), s. 176–180.. Podano też twierdzenia mówiące, że to zbiór ma własność punktu stałego w sensie topologii; przykład to twierdzenie Schaudera-Tichonowa. W latach 20. XXI wieku istnieje osobne czasopismo poświęcone takim zagadnieniomJournal of Fixed Point Theory and Applications, springer.com [dostęp 2023-08-25]..
Miejsce wśród innych dyscyplin Teoria punktów stałych nie jest osobną kategorią w spisie MSC 2020, jednak są w nim działy zawierające w nazwie punkty stałe, m.in. w sekcjach: 32: Several complex variables and analytic spaces, 32H: Holomorphic mappings and correspondences, 37: Dynamical systems and ergodic theory, 37C: Smooth dynamical systems: general theory, 37J: Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems, 47: Operator theory, 54: General topology, 55: Algebraic topology, 55M: Classical topics in algebraic topology, 58: Global analysis, analysis on manifolds 2020 Mathematics Subject Classification , mathscinet.ams.org [dostęp 2023-08-25]..
Przypisy
Literatura Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer-Verlag, New York 2003, . Ravi P. Agarwal, Maria Meehan, Donal O'Regan, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press, 2009, .