thumb|Punkty są oddzielone przez ich otoczenia otwarte które są rozłączne
Przestrzeń Hausdorffa (H-przestrzeń) – przestrzeń topologiczna taka że dla każdych dwóch różnych punktów istnieją rozłączne, otwarte otoczenia tych punktów.
Tj. dla każdych , istnieją otoczenia otwarte , i takie że .
Ta własność przestrzeni była początkowo postulowana w definicji przestrzeni topologicznej, jednak wraz z rozwojem teorii wydzielono ją jako jeden z możliwych „aksjomatów oddzielania” nakładanych na abstrakcyjną przestrzeń topologiczną (zob. Przykłady). Z tego powodu o przestrzeniach Hausdorffa mówi się też, iż spełniają aksjomat „” bądź, według innej klasyfikacji, aksjomat „”; dla zwięzłości określa się je również jako „przestrzenie ” Hausdorff space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2026-01-15]. (bądź „”).
Pojęcie wprowadzone przez Feliksa Hausdorffa.
Przykłady Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych spełnia własność Hausdorffa, w szczególności są to przestrzenie: liczb rzeczywistych z topologią naturalną (ogólniej przestrzenie euklidesowe), czy przestrzenie metryczne.
Każda przestrzeń regularna () jest przestrzenią Hausdorffa (), lecz niekoniecznie na odwrót: przykładem może być przedział jednostkowy z topologią otrzymaną jako rozszerzenie topologii naturalnej (tzn. prostej rzeczywistej) o zbiór
Podobnie każda przestrzeń jest przestrzenią , choć niewykluczona jest sytuacja odwrotna – przykładami mogą być zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory o skończonych dopełnieniach, czy analogicznie definiowaną topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
Własności Przestrzeń jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna jest zbiorem domkniętym w przestrzeni produktowej Niech będą przekształceniami ciągłymi dowolnej przestrzeni topologicznej w przestrzeń Hausdorffa Wówczas zbiór argumentów, na którym wartości tych funkcji są równe, jest domknięty w W szczególności, jeśli wykresy pokrywają na zbiorze gęstym przestrzeni to są one równe. Ciągi zbieżne w przestrzeni Hausdorffa mają wyłącznie jedną granicę, tzn. granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie. Własność „hausdorffowości” przestrzeni jest dziedziczna, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa. Przestrzeń produktowa przestrzeni Hausdorffa również jest Hausdorffa. Zwarte podprzestrzenie przestrzeni Hausdorffa są domknięte (istnieją przestrzenie niemające tej własności).
Przypisy
Zobacz też aksjomaty oddzielania: T0, T1, T2, T3,…
Bibliografia Ryszard Engelking, Topologia ogólna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007, , s. 52-53. Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, s. 77. Kazimierz Kuratowski, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 50–51.
Kategoria:Aksjomaty oddzielania