Pochodne Wirtingera, operatory WirtingeraZob. Fichera 1986, s. 62. – operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu zachowujące się w bardzo podobny sposób do zwykłych pochodnych względem zmiennej rzeczywistej po przyłożeniu ich do funkcji holomorficznych, antyholomorficznych lub po prostu różniczkowalnych w obszarach płaszczyzny zespolonej. Operatory te umożliwiają, dla wspomnianych funkcji, konstrukcję rachunku różniczkowego całkowicie analogicznego do rachunku różniczkowego zwyczajnego funkcji zmiennych rzeczywistychNiektóre podstawowe własności pochodnych Wirtingera pokrywają się z własnościami charakteryzującymi pochodne zwyczajne (lub cząstkowe) używane do konstrukcji zwykłego rachunku różniczkowego.. Pojęcie nosi nazwisko Wilhelma Wirtingera, który wprowadził je w 1927 roku.
Pomimo ich powszechnego zastosowaniaZ powołaniem się na nazwisko Wilhelma Wirtingera lub nie., zdaje się, że brakuje pracy, która zawierałaby wszystkie własności pochodnych Wirtingera; jednakże krótki kurs wielowymiarowej analizy zespolonej autorstwa Andreottiego (1976)Aldo Andreotti wykorzystuje własności pochodnych Wirtingera w celu wykazania zamkniętości algebry funkcji holomorficznych ze względu na pewne operacje. i monografia Kaupa (1984)Ta książka zawiera pewne własności pochodnych Wirtingera także w przypadku ogólnym funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły. zawierają dość kompletny wykład na ich temat; z tego powodu będą używane w tym artykule jako główne źródło odniesienia.
Uwagi historyczne Pochodne Wirtingera wykorzystywano w analizie zespolonej, jak to zauważyli Cherry i Ye (2001, s. 31), co najmniej od czasów pracy Poincarégo (1899). Istotnie, w trzecim akapicieZob. Poincaré 1899, s. 111–114. tej pracy Henri Poincaré definiuje najpierw zmienną zespoloną w a następnie jej sprzężenie zespolone wzorem
gdzie wskaźnik ma w domyśle przebiegać od 1 do n. Następnie pisze on równanie definiujące funkcje, które nazywa on biharmoniqueFunkcje te są dokładnie pluriharmonicznymi, a operator różniczkowy liniowy je definiujący, tzn. operator w równaniu 2 w pracy Poincarégo (1899, s. 112), jest n-wymiarowym operatorem pluriharmonicznym., wcześniej zapisane za pomocą pochodnych cząstkowych względem zmiennych rzeczywistych dla oraz przebiegających od do w dokładnie następujący sposóbZob. Poincaré (1899, s. 112), równanie 2': w pracy tej, zamiast popularniejszego oznaczenia to litera służy jako symbol pochodnej cząstkowej.
Oznacza to, że przyjął on drugą (wielowymiarową) definicję przedstawioną niżej: aby się o tym przekonać, wystarczy porównać równania 2 oraz 2' w pracy Poincarégo (1899, 112). Jednakże pierwsze systematyczne wprowadzenie pochodnych Wirtingera pochodzi od Wilhelma Wirtingera (1926), które miało na celu uproszczenie obliczeń wielkości pojawiających się w teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych: wynikiem wprowadzenia tych operatorów różniczkowych było znaczące uproszczenie postaci wszystkich operatorów różniczkowych, powszechnie stosowanych w teorii, jakimi są np. operator Leviego czy operator Cauchy’ego-Riemanna.
Konwencje Dalej płaszczyzna zespolona będzie utożsamiana z płaszczyzną euklidesową
W przypadku wielowymiarowym symbol będzie oznaczać przestrzeń euklidesową nad ciałem liczb zespolonych i będzie wykorzystywane następujące utożsamienie:
Wówczas będzie traktowany jako wektor zespolony gdzie oraz są wektorami rzeczywistymi, przy czym ponadto podzbiór będzie postrzegany jako obszar rzeczywistej przestrzeni euklidesowej lub też jej zespolonej odpowiedniczki z nią izomorficznej,
Definicje Pochodne Wirtingera definiuje się jako następujące liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:
W przypadku wielowymiarowym pochodne Wirtingera przyjmuje się, że są to następujące macierzowe liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:
Naturalną dziedziną definicji tych operatorów różniczkowych cząstkowych jest przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły określonych na obszarze dla jednakże ponieważ operatory te są liniowe i mają stałe współczynniki, to mogą być łatwo rozszerzone na każdą przestrzeń funkcji uogólnionych.
Podstawowe własności Dowody poniższych własności wynikają wprost z przyjętych definicji.
Liniowość Jeżeli zaś to dla wszystkich zachodzi następująca równość
Reguła Leibniza Jeżeli to dla wszystkich zachodzi reguła Leibniza:
Zobacz też równania Cauchy’ego-Riemanna
Przypisy
Literatura
; notatki z wykładu Francesca Severiego w Istituto Nazionale di Alta Matematica w Rzymie (dziś jego imienia) z przypisami dodatkami Enza Martinelliego, Giovanniego Battisty Rizzy oraz Maria Benedicty’ego.
Bibliografia
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Analiza zespolona