mały|Wykres przykładowej funkcji wykładniczej gdzie w kartezjańskim układzie współrzędnych
Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej: w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci gdzie . Liczba – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej; w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższym wzorem przy dodatkowym warunku – wyklucza się przypadek kiedy ten wzór daje funkcję stałą.
Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista lub płaszczyzna zespolona W pierwszym wypadku: zbiorem wartości jest półoś wszystkich liczb dodatnich – funkcja ta jest ograniczona z dołu, ale nie z góry; funkcje te są monotoniczne w całej dziedzinie: dla są rosnące, a dla – malejące; w związku z powyższymi faktami: granicą takich funkcji w jednej z nieskończoności jest zero; oś pozioma jest dla nich asymptotą jednostronną – lewostronną dla funkcji rosnących i prawostronną dla malejących; granica w drugiej nieskończoności jest niewłaściwa; funkcje te są ciągłe, a do tego gładkie i analityczne; ich rozwinięcie w szereg podano w dalszej sekcji; wykresy takich funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych są znane jako krzywe wykładnicze Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11]..
Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych Zastosowanie funkcji wykładniczej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-04-11]..
Własności Algebraiczne
Analityczne Funkcja wykładnicza o podstawie jest (przy argumencie dążącym do ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.
Pochodna funkcji wykładniczej to:
dowód jest w artykule: logarytm naturalny.
W szczególności dla zachodzi:
Eksponens mały|Wykres funkcji – zwanej eksponensem – w kartezjańskim układzie współrzędnych. Liczba to podstawa logarytmu naturalnego
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej – podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest nazywane krótko eksponensem.
Cechą funkcji jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego
przy warunku początkowym
daje wzór na funkcję eksponencjalną:
Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy:
Dziedzina zespolona thumb|Wykres na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny
Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:
Jest to funkcja okresowa z okresem i można ją zapisać jako:
gdzie i to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.
Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności
dla wszystkich i
Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.
Przykłady i zastosowania Matematyka Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień. Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów. Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany. Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym. Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości. Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Poissona zawiera funkcję wykładniczą. Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą. Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą.
Fizyka Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej. Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasu. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką. Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą. Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej. Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał. Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.
Inne nauki Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo. Prawo Moore’a w elektronice i informatyce.
Zobacz też
eksponenta macierzy homomorfizm
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Polskojęzyczne Funkcja wykładnicza, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-05-16]. Funkcja wykładnicza – wykładniczy wzrost i zanik, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-04-11].
Anglojęzyczne [dostęp 2024-04-11]. [dostęp 2024-04-11]. Exponential function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Potęgowanie W Wykładnicza