cd. Przykłady: Właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny thumb|Fragment wykresu funkcji mającej właściwe minimum w każdym punkcie swojej dziedziny. Kropki – punkty – odpowiadają nieskracalnym ułamkom . Niech funkcja przyporządkowuje każdej liczbie wymiernej wartość mianownika wyrażającego ją ułamka skróconego. Formalnie:
gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik.
Dla dowolnego wymiernego istnieje otoczenie otwarte, w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek różniący się od o mniej niż ma mianownik większy od q. Nierówność
prowadzi bowiem do
a wobec jest . A zatem funkcja ta ma dla każdej liczby wymiernej (czyli dla każdego punktu swojej dziedziny) właściwe minimum lokalne.
Tw. Weierstrassa (warunek wystarczający ekstremum globalnego) Twierdzenie Weierstrassa o kresach mówi, że funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych, określona na przedziale domkniętym, osiąga ekstrema globalne.