Twierdzenie to jest prawdziwe nie tylko dla funkcji liczbowych, a dla dowolnych funkcji ciągłych, określonych na zwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni topologicznych.
Ekstrema funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej W dalszej części sekcji rozważane będą funkcje ciągłe oraz różniczkowalne w przedziale Geometrycznie oznacza to, że ich wykres jest „nieprzerwany” i „gładki”, czyli ma w każdym punkcie styczną. Nie zakładamy tu, dla ogólności rozważań, ciągłości funkcji pochodnej. Poniżej rozważymy warunki na istnienie ekstremów dla funkcji spełniających rosnące wymagania, tj. o ciągłych pochodnych pierwszego, drugiego i n-tego rzędu. W następnym rozdziale rozważymy zaś funkcje, które nie mają pochodnych w punktach, w których pomimo tego mają ekstrema.
Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata) thumb|Funkcja nie ma dla ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero. W punkcie tym występuje punkt przegięcia. Tw. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremów lokalnych funkcji różniczkowalnej w pewnym punkcie jest
Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji jest w tym punkcie prostą poziomą. Jest to tzw.