twierdzenie Fermata.
Dowód:
Jeśli ma w punkcie ekstremum lokalne, to istnieje takie że dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej zachodzi:
a więc:
Po przejściu do granicy, dla otrzymujemy:
Zatem c.n.d.
Warunek Fermata nie jest jednak wystarczający.
Np. funkcja nie ma ekstremum, chociaż jej pochodna zeruje się dla
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji klasy Jeżeli jest funkcją klasy jednej zmienne rzeczywistej (tj. funkcja jest ciągła i ma ciągłą pochodną w przedziale ) oraz ma skończoną liczbę punktów stacjonarnych (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)Założenie o skończonej liczbie punktów stacjonarnych można zastąpić słabszym żądaniem, by każdy punkt stacjonarny był izolowany. Zobacz przykład funkcji której wykres pokazano w sekcji Proste przykłady ekstremów., to w punkcie funkcja ma ekstremum, gdy w otoczeniu tego punktu pochodna zmienia znak, przy czym: minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że:
dla dla
maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że
dla dla
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji klasy Jeżeli jest funkcją klasy (tj.