jest ciągła i ma ciągłe pierwszą i drugą pochodną w przedziale ) oraz spełnione są warunki
to ma w punkcie ekstremum, przy czym: gdy to jest to maksimum lokalne gdy to minimum lokalneDowód: Ze wzoru Taylora dla wynika:
gdzie:
więc z:
wynika:
Dla prawa strona ma ten sam znak, co Gdy to z ciągłości wynika w pewnym otoczeniu punktu więc w tym otoczeniu dla
zatem istnieje maksimum w punkcie Analogicznie, istnieje minimum gdy .
2. Gdy zaś druga pochodna zmienia znak przechodząc przez punkt .
Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji klasy Jeżeli jest funkcją klasy , tj. jest -krotnie razy różniczkowalna i ma ciągłe pochodne aż do -tej w oraz spełnione są warunki: tj. wszystkie pochodne do -ej zerują się w punkcie , tj. n-ta pochodna jest różna od zera w tym punkcie, to gdy jest liczbą parzystą, to ma ekstremum w punkcie przy czym jest to maksimum, gdy lub minimum, gdy gdy jest liczbą nieparzystą, ekstremum nie istnieje.
Dowód
Z założenia zerowania się pochodnych do można wyprowadzić korzystając ze wzoru Taylora:
dla pewnego