Po niemiłym okresie współpracy z Millinderem, Edison w 1937 znalazł się w big-bandzie Counta Basiego. Dzięki „miłej łagodności” jego gry Lester Young od razu nazwał go „Sweetie Pie”, co w rezultacie dało przydomek: „Sweets”. Edison grał w orkiestrze Basiego 13 lat, aż do 1950, kiedy okresowo zawiesiła działalność. W tym czasie nagrał z nią ponad 50 płyt, rejestrując m.in. swoje duety z innym wybitnym trębaczem – Buckiem Claytonem. Ponadto zaprzyjaźnił się wówczas z Billie Holiday, która występowała wtedy w zespole Basiego.
W 1952 przeprowadził się do Kalifornii, gdzie stał się bardzo pożądanym muzykiem studyjnym. Stał się też głównym trębaczem solistą w muzycznych poczynaniach Nelsona Riddle’a, aranżera, kompozytora i bandlidera, ówczesnego potentata w kalifornijskim przemyśle nagraniowym. Przez sześć był stałym członkiem orkiestr studyjnych takich gwiazd, jak Frank Sinatra, Bing Crosby, Nat „King” Cole, Ella Fitzgerald i Jerry Lewis. Uczestniczył również w realizacji ścieżek dźwiękowych do wielu filmów fabularnych. Dzięki swojej aktywności muzyka sesyjnego został objęty przez system emerytalny dla artystów studyjnych, uzyskując w ten sposób cotygodniowe i wypłacane dożywotnio świadczenie w wysokości 800 USD.