Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях над полем камплексных лікаў:
дзе
Гэты рад з'яўляецца сумай двух радоў:
— неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і — адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.
Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.
Уласцівасці
Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца
Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці рад Ларана сыходзіцца абсалютна; Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі; На любым кампактным падмностве рад збягаецца раўнамерна; Сума рада Ларана ў ёсць аналітычная функцыя ; Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у пачленна; Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у , то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў. Каэфіцыенты рада Ларана вызначаюцца праз яго суму формуламі
дзе , , — любая акружнасць з цэнтрам , размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці.
Тэарэма Ларана Прымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:
Любую адназначную аналітычную функцыю у колцы можна прадставіць у збежным радам Ларана.
У тым ліку, у праколатым наваколлі
ізаляванага асаблівага пункта адназначная аналітычная функцыя прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.
Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:
Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0. Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў. Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.
Літаратура
Катэгорыя:Камплексны аналіз Катэгорыя:Рады