Питагоров триъгълник е правоъгълен триъгълник, на който дължините на страните са цели числа. Такъв е например триъгълникът с дължини на страните 3, 4 и 5 (наричан също египетски триъгълник):
3² + 4² = 5²
От Питагоровата теорема следва, че всички питагорови триъгълници съответстват на решенията в естествени числа на уравнението:
Решенията на уравнението (1) се наричат питагорови тройки. Когато числата в питагорова тройка са взаимно прости, тя се нарича примитивна; например тройката 6,8,10 не е примитивна тъй като 2 е техен общ делител. За числа по малки от 100 има 16 примитивни питагорови тройки: (3, 4, 5)(6, 8, 10) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25) (20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53) (11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73) (13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
Общо решение Нека и са взаимно прости естествени числа и . Тогава числата:
са решение на уравнението (1) и всяко примитивно решение може да получи по гореописания начин.
Дължини на страните и хипотенузата в някои примитивни питагорови триъгълници:
5² + 12² = 13² 7² + 24² = 25² 8² + 15² = 17² 9² + 40² = 41²
БергренBerggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi, 17: 129–139 е показал, че всички примитивни питагорови тройки могат да бъдат получени от най-малката, (3, 4, 5), използвайки три линейни пробразувания T1, T2, T3: нова страна нова страна нова страна : : :
Така, започвайко с , , и , задава новата тройка:
(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5, 12, 13), и аналогично и задават съответно (21, 20, 29) и (15, 8, 17).
Вижте също Питагор Теорема на Питагор Питагорова четворка
Бележки
Категория:Триъгълници Категория:Теория на числата