Rámpafüggvény

Az ún. rámpafüggvény (angol átvétel: ramp function) egy elemi egyváltozós valós függvény. Egyszerűen számolható, mint a független változó és abszolútértékének számtani közepe. A függvényt a műszaki életben (például DSP) is alkalmazzák. A szabályozáselméletben egységnyi sebességugrás néven ismeretes.

A „rámpafüggvény” elnevezés onnan ered, hogy a függvénygrafikon lejtőre, rámpára hasonlít, a töréspont az origónál van.

Definíciói

A „rámpafüggvény” grafikonja|bélyegkép|260px|jobbra

= x·H(x) =   H(x)oH(x) ld. itt

(ahol H(x) az ún. Heaviside-függvény, o pedig a konvolúció művelete).

Analitikus tulajdonságok Nemnegativitás A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolútértéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: R(x)≥0 és

|R(x)| = R(x) . Bizonyítás: a definíció alapján az I. negyedben nemnegatív, a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.

Folytonosság Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

Derivált Deriváltja a H(x) Heaviside-függvény ℝ\{0}-ra szűkítve:

R'(x) = H(x)  ha  x≠0 .

Ugyanis ha x<0, akkor R(x)=0 konstans, tehát ezen a tartományon (ℝ–-on) R'(x)=0 (konstans deriváltja 0); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel. ha x>0, akkor R(x)=x, tehát ezen a tartományon (ℝ+) R'(x)=1 (a valós számokon értelmezett identitás deriváltja 1); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel. 0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (jobbról deriválva 0-t, balról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

E tételből a Newton-Leibniz-tételt is figyelembe véve következik az . definíció.

Fourier-transzformált

Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény (a képletben deriválva szerepel).

Algebrai tulajdonságok Iteráció-invariancia

Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga, minthogy R(R(x)) = R(x) . Biz.: .

Felhasználtuk (a harmadik egyenlőségjel után) a nemnegativitást.

Hivatkozások

Lásd még abszolút érték Heaviside-függvény

Irodalom Mathworld (angolul)

Kategória:Valós analízis Kategória:Függvények Kategória:Szabályozáselmélet