A matematikában a differenciálható sokaság egy olyan sokaság, mely lokálisan annyira hasonlít egy euklideszi térhez, hogy lehetséges rajta differenciál- és integrálszámítást végezni. A differenciálható sokaság a differenciálgeometria és a differenciáltopológia egyik központi fogalma, és fontos szerepet játszik az elméleti fizika számos területén. Általában a fizikában alkalmazott differenciálható sokaságok több struktúrával rendelkeznek. Például a klasszikus mechanikában a fázistereket szimplektikus sokaságok modellezik, míg az általános relativitáselméletben definiált téridő egy Lorentz-sokaság.
A sokaságot lokálisan euklideszi terek részhalmazaival való azonosításokat térképeknek nevezik. Egy sokaság leírható térképek egy olyan gyűjteményével, amik együtt lefedik a teljes sokaságot: ezeket a gyűjteményeket nevezik atlasznak. Mivel a térképek értékkészlete egy euklideszi vektortérben helyezkedik el, ezért lehet olyan leképezéseket létrehozni általuk, melyekre érvényesek a többváltozós differenciálszámítás szabályai. Amennyiben a térképek kompatibilisek egymással, tehát az átmenet két térkép között differenciálható, akkor az egyik térképben végzett számítások megegyeznek más térképekben végzett számításokkal, amely így lehetővé teszi a differenciál- és integrálszámítást sokaságokon. Pontosabb megfogalmazásban a differenciálható sokaság egy globálisan definiált differenciálható struktúrával ellátott sokaság.
Egy differenciálható sokaságban definiált lokális differenciálható struktúra segítségével létrehozhatóak olyan objektumok, melyek kiterjesztik a differenciálhatóság fogalmát olyan nemeuklideszi terekre, melyek nem rendelkeznek globális koordináta-rendszerrel. Például, differenciálható sokaságokon definiálhatóak differenciálható függvények, vektormezők és tenzormezők.
Egy sokaság differenciálhatósága többféleképpen mutatkozhat meg: egy sokaság lehet egyszer folytonosan differenciálható, r-szer differenciálható, tetszőlegesen sokszor differenciálható (tehát sima), vagy analitikus.
Története A differenciálgeometria ágának megjelenését elsősorban Carl Friedrich Gaussnak és Georg Friedrich Bernhard Riemann-nak tulajdonítják. A sokaságokat először Riemann írta le az 1854-es habilitációs előadásában a Göttingeni Egyetemen. A fogalom mögötti motivációt az adta, hogy egy adott változó bizonyos kényszerfeltételek teljesülése mellett milyen értékeket vehet fel. Ezen értékek halmazát nevezte el Riemann sokaságnak (németül Mannigfaltigkelt). A differenciálgeometria úgynevezett Riemann-sokaságokkal foglalkozó ágát ennek emlékére Riemann-geometriának hívják: ez olyan sima sokaságokkal foglalkozik, amiknek a tangensterein adott egy sima skalárszorzat. (Részletek a #(Pszeudo-)Riemann-sokaságok szakaszban.)
Gregorio Ricci-Curbastro és Tullio Levi-Civita matematikusok munkái adták a tenzoranalízis területének alapját, melynek alapvető fogalma a kovariancia, mely egy koordináta-rendszerek közötti transzformációktól független belső geometriai tulajdonság. A területhez fontos hozzájárulásai voltak James Clerk Maxwellnek, ő azonban tenzorok helyett kvaterniókkal foglalkozott, viszont az elektromágnesességet leíró egyenletei történelmileg jelentős példái a fizikai világ tenzorokkal való leírásának. A kovariancia fogalma szintúgy jelentőssé vált a fizikában, Albert Einstein általános relativitáselméletének adja a matematikai alapját.
A differenciálható sokaság fogalmának elődje Henri Poincaré 1895-ös munkájában található meg. Ebben az értelmezésben a differenciálható sokaságok olyan euklideszi tereken definiált folytonosan differenciálható függvények szinthalmazaként állnak elő, amelyeknek Jacobi-determinánsa nullától különbözik. Ez a fogalom a Riemann-féle sokaságfogalommal kompatibilis, ugyanis ezáltal minden folytonosan differenciálható függvény grafikonja egy sokaság.
A kétdimenziós sokaság modern definícióját Hermann Weyl adta 1913-ben, a Riemann-felületekről írott könyvében. A jelenleg is alkalmazott, atlaszok segítségével történő általános definíció Hassler Whitneynek köszönhető, mely így a differenciálgeometria és a Lie-csoportok elméletének hátterét is precízen leírta.
Definíció Differenciálható atlasz thumb|A és közötti térképcsere illusztrációja, ahol a felső nagy ellipszis az topologikus teret, az alsó kisebb ellipszisek pedig részhalmazait jelölik. Adott egy topologikus tér , melyen egy térkép egy pár , ahol egy nyílt részhalmaz, pedig egy homeomorfia:
.
Ha , akkor a térképet körüli térképnek is hívjuk. Gyakran nevezik szimplán a homeomorfiát térképnek, feltéve, hogy az értelmezési tartománya egy nyílt részhalmaza. Továbbá, egy pont körüli térképet a pontban kiértékelve írhatjuk -ként, és bármely -t egy körüli lokális koordinátának hívjuk. 4.o.
Legyen egy indexhalmaz, akkor egy atlaszának hívjuk térképek olyan gyűjteményét, melyre
teljesül. Ha és két térkép, melyekre teljesül, akkor két részhalmaza között definiálható a következő leképezés:
. 12.o.
Ezek a leképezések konstrukció szerint homeomorfiák. Ha egy atlaszon belül minden ilyen leképezés egy -diffeomorfizmus (ahol ), akkor az atlaszt -differenciálhatónak hívjuk.
Differenciálható struktúra Két -differenciálható atlasz akkor ekvivalens, ha az uniójuk szintén egy -differenciálható atlasz. Proposition 1.17. Az atlaszok ezen ekvivalencia szerinti ekvivalenciaosztályát az topologikus tér -differenciálható struktúrájának hívjuk. Ha , a struktúrát sima struktúrának hívjuk.
Differenciálható sokaság Amennyiben topologikus tér Hausdorff, teljesíti a második megszámlálhatósági axiómát és rendelkezik egy differenciálható struktúrával, akkor differenciálható sokaságnak hívjuk. 3.o. 13.o. Ha a struktúra sima, akkor sima sokaságról beszélünk. Ha az atlaszon belül minden „térképcsere” () valós analitikus, akkor a sokaságot is valós analitikusnak () hívjuk. A differenciálható sokaságok dimenziója megegyezik a térképek értékkészletének dimenziójával.
Komplex sokaság Egy sokaság komplex, ha a térképeinek értékkészlete részhalmazai, és a „térképcserék” holomorf és invertálható függvények, melyek inverze is holomorf.
Példák Az euklideszi vektortér egy differenciálható sokaság, mely differenciálható atlaszának egyetlen térképe van: az identitásfüggvény. Example 1.22. Általánosabban, bármely véges dimenziós valós vektortéren definiált norma meghatározza a topológiáját. Ebben a (természetes) topológiában a vektortér egy topologikus sokaság, melyre a bázisa segítségével definiálható egy sima struktúra. Example 1.24. Az -es valós mátrixok halmaza egy véges dimenziós vektortér, amely ezáltal egy -dimenziós sima sokaság. Example 1.25. A halmaz számos olyan részhalmaza is felruházható differenciálható struktúrával, amelyek önmagukban nem alkotnak vektorteret. A kör és magasabb-dimenziós általánosításai (-gömbök vagy ) differenciálható sokaságok. Example 1.32. A valós projektív tér (jelölés szerint ) egy -dimenziós sima sokaság. Example 1.33. Ellenpélda: a lemniszkáta nem egy differenciálható sokaság, de még nem is topologikus sokaság: a görbe önmagával való metszéspontjának (nódusának) nincs olyan környezete, ami egy euklideszi tér nyílt részhalmazával homeomorf.
Vektorok és tenzorok sokaságokon Egy általános differenciálható sokaság nem rendelkezik az euklideszi vektorterek affin struktúrájával, viszont lokálisan definiálhatóak rajta olyan terek, amik rendelkeznek vele, így kiterjeszthető a vektor- és tenzormezők fogalma sokaságokra. Egy leképezés egy adott pontban vett deriváltja megadja a leképezéssel parametrizált görbe érintővektorát. Ezt lehetséges általánosítani sokaságokon vett görbék segítségével.
Tangenstér és tangensnyaláb
Legyen egy differenciálható sokaság, , és pedig differenciálható leképezések, ahol , és . Azt mondjuk, hogy ( és ekvivalens), ha valamilyen körüli térképre
,
tehát ha a 0 pontban vett deriváltjaik megegyeznek. Az pontbeli görbék ezen ekvivalenciarelációja szerinti ekvivalenciaosztályok halmazát az sokaság pontbeli tangensterének vagy érintőterének nevezzük, jele pedig . Definíció 3.1. Az érintőtér elnevezésnek geometriai oka van, ugyanis egy sokaság -beli érintőterének bármely elemét el lehet képzelni egy vektorként, amely merőleges a sokaságra és a kezdőpontja .
A sokaság összes pontjában vett tangenstereinek diszjunkt uniója a sokaság tangensnyalábja, tehát
65.o.
Ha egy -dimenziós sokaság, akkor bármely pontjában vett tangenstere egy -dimenziós vektortér, Proposition 2.4.11. a sokaság tangensnyalábja () pedig egy -dimenziós differenciálható sokaság. Proposition 3.18.
Vektormező
A tangensnyaláb segítségével általánosítható a vektormező fogalma differenciálható sokaságokra. A
leképezést kanonikus projekciónak hívjuk. Az differenciálható sokaságon értelmezett vektormezők a tangensnyaláb differenciálható szelései. Precízebben, egy vektormező, ha . 174.o. Egy sokaságon értelmezett vektormező tehát a sokaság egy pontjához rendel egy vektort, ami az adott pont tangensterében található.
Létezik egy alternatív definíciója a sima sokaságokon értelmezett vektormezőknek: legyen az összes sima függvény halmaza. Egy vektormező egy olyan lineáris leképezés, hogy bármely -re.
Kotangenstér és kotangensnyaláb Mivel egy sokaság adott pontjában vett tangenstér egy vektortér, létezik duális tere, mely az összes lineáris leképezést tartalmazza. 275.o. Ezt kotangenstérnek hívjuk és -ként jelöljük, elemeit pedig kovektornak vagy kovariáns vektornak hívjuk. A kotangensnyaláb a tangensnyalábhoz hasonlóan a sokaság összes pontjában vett kotangenstereinek diszjunkt uniója.
Tenzornyaláb és tenzormező A tangens- és kotangensterek segítségével definiálhatóak magasabb rendű objektumok, úgynevezett tenzorok terei: az sokaság pontjában vett -típusú tenzorok tere a tenzorszorzat segítségével definiálható:
.
Másképp kifejezve a multilineáris leképezések tere. Ezen definíció szerint az sokaság pontjában vett típusú tenzorai pontosan elemei, míg a -tenzorok pontosan elemei. A tangens- és kotangensnyalábhoz hasonlóan definiálhatóak -tenzornyalábok is:
A tenzornyaláb differenciálható szeléseit -tenzormezőnek hívjuk, melyek a sokaság egy pontjához egy abba a pontban vett -tenzort rendelnek hozzá. Chapter 12.
Differenciálforma A differenciálformák speciális tenzormezők, melyek segítségével differenciálható sokaságokra általánosítható az integrálszámítás, továbbá további struktúra (általában egy Riemann-metrika) jelenléte esetén olyan differenciáloperátorok is, mint a gradiens vagy a rotáció.
Definíció szerint egy differenciál k-forma (röviden k-forma) egy teljesen antiszimmetrikus -tenzormező. Definíció 4.14 Az eddig definiált objektumok közül a differenciálható függvények 0-formákat, a kovektorok pedig 1-formákat alkotnak. Egy adott pontban vett differenciál k-formák vektorteret alkotnak.
A differenciálformák kombinálásához definiálható az ékszorzat művelete, mely antiszimmetrikus, asszociatív, bilineáris, továbbá egy k- és egy ℓ-formából képez egy (k+ℓ)-formát. 355–356.o. Amennyiben és differenciálformák, az ékszorzatukat jelöli.
A differenciálformák és az ékszorzat antiszimmetrikus szerkezete, hasonlóan a Jacobi-determinánshoz alapvető fontosságú ahhoz, hogy az -en értelmezett függvények integrálfogalma és fundamentális integráltételek kiterjeszthetők legyenek differenciálható sokaságokra.
Egy zárt nemelfajuló differenciál 2-formával ellátott sima sokaságot szimplektikus sokaságnak hívunk. 567–568.o.
Differenciálszámítás sokaságokon Differenciálható függvények és leképezések A differenciálhatóság fogalma kiterjeszthető olyan leképezésekre, melyek értelmezési tartománya nem egy euklideszi vektortér, hanem egy differenciálható sokaság.
Az differenciálható sokaságon értelmezett valós függvény differenciálható pontban, ha bármely körüli térképen differenciálható. Precízebb megfogalmazásban, akkor és csak akkor differenciálható az pontban, ha létezik egy térkép, ahol , és