Теорема за простите броеви (ТПБ) — теорема која ја опишува распределбата на простите броеви меѓу позитивните цели броеви. Со оваа теорема се формализира интуитивната идеја дека простите броеви како што се зголемуваат стануваат сè поретки и со неа се дава асимптотска оценка на брзината со која тоа се случува. Теоремата била докажана независно од Жак Адамар и Шарл Жан де ла Вале Пусен во 1896 година со користење на идеи воведени од Бернард Риман (најмногу Римановата зета функција).
Првата таква пронајдена распределба е , каде што е функцијата за броење на прости броеви (бројот на прости броеви помали или еднакви на N), а е природниот логаритам на N. Ова значи дека за доволно голем N, веројатноста дека произволен број кој не е поголем од N да е прост е многу блиску до . Следствено, произволен број со најмногу цифри (за доволно голем ) има приближно половина поголема веројатност да биде прост од произволен цел број со најмногу цифри. На пример, меѓу позитивните цели броеви со најмногу 1000 цифри, околу еден од 2300 е прост (), додека кај позитивните цели броеви со најмногу 2000 цифри, околу еден од 4600 е прост (). Со други зборови, просечното растојание помеѓу два последователни прости броја меѓу првите N цели броеви е приближно .
Теорема мини|300x300пкс| График кој го прикажува односот на функцијата за броење прости броеви до две нејзини апроксимации, и . Како што се зголемува (оската е логаритамска), и двата соодноси се стремат кон 1. Односот за конвергира одозгора многу бавно, додека односот за се конвергира побрзо одоздола. мини|300x300пкс| Приказ на log-log кој покажува апсолутна грешка на и , две апроксимации на функцијата за броење прости . За разлика од соодносот, разликата помеѓу и се зголемува без ограничување додека се зголемува. Од друга страна, го менуваат знакот бесконечно многу пати. Нека е функцијата за броење на прости броеви и ја дефинираме како број на прости броеви помали или еднакви на за произволен реален број . На пример, бидејќи има четири прости броја (2, 3, 5 и 7) помали или еднакви на 10. Според теоремата за простите броеви следува дека е добра апроксимација на (со е означен природниот логаритам од x), во смисла дека граничната вредност на количникот на двете функции и кога се зголемува неограничено е еднаква на 1:
познат како асимптотски закон за распределба на простите броеви. Користејќи асимптотска нотација, овој резултат може да се запише како
Оваа ознака и теоремата не кажуваат ништо за лимесот на разликата на двете функции кога се зголемува без ограничување. Наместо тоа, теоремата наведува дека се приближува кон , односно дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 додека се неограничено расте.
ТПБ е еквивалентна со тврдењето дека: -тиот прост број задоволува
при што асимптотската нотација значи, повторно, дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 кога неограничено расте. На пример, -тиот прост број е , и ()ln() се заокружува на 7.957.418.752.291.744.388; релативната грешка е околу 6,4%.
Од друга страна, следниве асимптотски релации се логички еквивалентни:
Како што е наведено подолу, ТПБ е исто така еквивалентна на
каде и се првата и втората Чебишова функција, соодветно.
Исто така, ТПБ е еквивалентна на
каде е Мертенсовата функција.
Историја на доказот на асимптотскиот закон на простите броеви Според претпоставките од Антон Фелкел и Јуриј Вега, Адриен-Мари Лежандр во 1797 (или 1798) година претпоставил дека е апроксимирана со функцијата , каде што и се неодредени константи. Toj подоцна (1808) во второто издание на неговата книга за теоријата на броеви) направил попрецизна претпоставка фиксирајќи ги и , со и . Карл Гаус го разгледувал истото прашање на 15 години „во 1792 или 1793 година“, според неговото сеќавање од 1849 година.. Во 1838 година, Дирихле смислил своја сопствена апроксимативна функција, логаритамскиот интеграл (под малку поинаква форма, која му ја соопштил на Гаус). И формулата на Лежандр и онаа на Дирихле, ја подразбираат истата претпоставена асимптотска еквиваленција на и наведена погоре, иако се покажало дека апроксимацијата на Дирихле е значително подобрa ако се земат предвид разликите наместо количниците.
Во два труда издадени во 1848 и 1850 година, рускиот математичар Чебишов се обидел да го докаже законот за распределба на простите броеви. Во неговиот труд е забележлива употребата на зета функцијата за реалните вредности на аргументот „“, како и во делата на Ојлер, од дури 1737 година. Трудовите на Чебишов биле напишани пред мемоарите на Риман од 1859 година и тој успеал да докаже послаба форма на законот. Имено, ако кога оди кон бескрајност, лимесот од воопшто постои, тогаш тој мора да е еднаков на еден. Тој успеал да докаже дека овој однос е ограничен од горе и долу со 0,92129 и 1,10555, за сите доволно големи . Иако трудот на Чебишов не ја докажал теоремата за прости броеви, неговите проценки за биле доволни за тој да го докаже постулатот на Бертран: за секој цел број , постои прост број помеѓу и .
Еден од најзначајните трудови околу дистрибуцијата на простите броеви бил мемоарoт на Риман од 1859 година „Бројот на прости броеви помали од дадена вредност“. Ова бил единствениот труд што тој некогаш го напишал и бил поврзан со оваа тема. Риман таму вовел нови идеи - ја поврзал распределбата на простите броеви со нулите на аналитичкото проширување на Римановата зета-функција од комплексна променлива. Конкретно, токму во тој труд првпат е изнесена идејата да се применат методи од комплексната анализа за проучување на реалната функција . Проширувајќи ги идеите на Риман, во истата година (1896) Жак Адамар и Шарл Жан де ла Вале Пусен, независно еден од друг, објавиле два доказа за асимптотскиот закон за распределбата на простите броеви. И двајцата користеле методи од комплексната анализа, и како главен чекор го користеле резултатот дека Римановата зета функција е различна од нула за сите комплексни вредности на променливата кои се од облик , каде .
Во XX век, теоремата на Aдамар и на де ла Вале Пусен станала позната и како Теорема на простите броеви. Постојат неколку различни докази за таа теорема, вклучувајќи ги и „елементарните“ докази на Алте Селберг и на Пол Ердош (1949). Оригиналните докази на Адамар и на де ла Вале Пусен се долги и детални. Иако во понатамошните докази биле воведени поедноставувања преку употребата на Тауберовите теореми, тие сепак останале тешко разбирливи. Краток доказ бил откриен во 1980 година од американскиот математичар Доналд Џеј Њуман. Њумановиот доказ е наједноставниот познат доказ за теоремата, иако во него се користи интегралната теорема на Коши од комплексна анализа.
Скица на доказот Теренс Тао во едно предавање ја претсавил скицата на доказот. Како и повеќето докази за ТПБ, тој започнува со преформулирање на проблемот во помалку интуитивна, но подобро воведена функција за броење на прости броеви. Идејата е да се избројат простите броеви (или елементите на некое поврзано множество како што е множеството на степени на простите броеви) со тежини за да се дојде до функција со помазно асимптотско однесување. Најчеста таква генерализирана функција за броење е функцијата на Чебишов , дефинирана со
Ова понекогаш се запишува како
каде е функцијата на фон Манголт
Сега е прилично лесно да се провери дали ТПБ е еквивалентна на тврдењето дека
Навистина, ова произлегува од леснo изводливите проценки
и користејќи ја ознаката за големо за ,
Понатаму треба да се најде добра репрезентација за . Може да се покаже дека е поврзана со фон Манголтовата функција , па оттука и со , преку релацијата
Од поврзаните својства на зета функцијата, користејќи ја Мелиновата трансформација и Пероновата формула, се покажува дека за нецел број важи равенката
каде што сумата е над сите тривијални и нетривијални нули на зета-функцијата. Оваа формула е една од таканаречените експлицитни формули на теоријата на броеви и веќе го сугерира на резултатот што сакаме да го добиеме. Бидејќи (се тврди дека е точниот асимптотски редослед на ) се појавува десно, проследена со асимптотски термини од понизок ред.
Следниот чекор вклучува проучување на нулите на зета-функцијата. Тривијалните нули −2, −4, −6, −8, ... може да се разгледуваат посебно:
кој исчезнува за доволно големи вредности на . Кога се разгледуваат нетривијалните нули на зета-функцијата, односно оние што се наоѓаат во областа 0≤Re(s)≤1, важно е да се забележи дека овие нули можат да предизвикаат нарушување на асимптотската распределба на простите броеви. Нетривијалните нули, имено оние на делот , можат да бидат од асимптотски ред споредлив со главниот член ако , така што треба да покажеме дека сите нули имаат реален дел строго помал од 1.
Кога Земаме дека е мероморфен во полурамнината , и е аналитички таму, освен за едноставен пол на , и дека постои формула за производ
за . Оваа формула за производ е заснована на единственоста на простата факторизација на целите броеви. Таа покажува дека ζ(s) не може да биде нула во овој регион, со што логаритамот на ζ(s) е добро дефиниран во тој дел од комплексната рамнина и може да се користи за натамошни анализи.
Запишете ; тогаш
Сега го набљудуваме идентитетот
така што
за сите . Да претпоставиме дека . Секако не е еднаков на нула, бидејќи има едноставен пол кога . Сега, да претпоставиме дека и нека се доближува одозгора кон 1. Меѓутоа, ова води до контрадикција, бидејќи тоа би значело дека функцијата не е аналитичка во таа точка, што го нарушува условот за аналитичност во регионот каде што и . Затоа, претпоставката дека ζ(1+iy)=0 мора да биде погрешна.
Конечно, можеме да заклучиме дека теоријата за простите броеви (ТПБ) е хевристички точна. Меѓутоа, за да се комплетира доказот, преостануваат значајни технички предизвици. Главниот проблем произлегува од тоа што собирањето на зета-нули во експлицитната формула за не е апсолутно конвергентно, туку само условно и во смисла на „главна вредност“. Постојат неколку начини околу овој проблем, но многу од нив бараат прилично деликатни комплексно-аналитички проценки. Книгата на Едвардс ги дава деталите. Друг метод е да се користи Тауберовата теорема на Икехара, иако оваа теорема сама по себе е доста тешко да се докаже. Њуман забележал дека целосната сила на теоремата на Икехара не е потребна за теоремата за прости броеви и може да се извлече со посебен случај што е многу полесно да се докаже.
Њумановиот доказ за теоремата за прости броеви Д. Џ. Њуман дава краток доказ за теоремата за прости броеви. Доказот е „неелементарен“ поради тоа што се потпира на комплексна анализа, но користи само елементарни техники од првиот курс по предметот: интегралната формула на Коши, интегралната теорема на Коши и проценките на сложените интеграли. Видете за целосни детали.
Доказот ги користи истите основни претпоставки како во претходниот дел, но со замената на функцијата , со. Оваа функција се добива со исфрлање на некои термини од . Слично од претходно, може да се покаже дека и за секој .Од овие проценки следува дека и теоремата се еквивалентни. Важно е да се забележи дека и се разликуваат само по една холоморфна функција на правата . Бидејќи нема нули, а нема сингуларитети кога . Ова својство е важно за користење на функцијата во анализата на распределбата на простите броеви.
Клучна информација за доказот на Њумен, која е основа за проценките во неговиот едноставен метод, е дека изразот е ограничен. Неговиот пристап користи елементарни техники, но е извонредно моќен, бидејќи обезбедува основна контрола врз растот на функцијата ϑ(x) во однос на x. Ова се докажува со помош на генијален и лесен метод поради Чебишов.
Интегрирање по делови ја покажува поврзаноста на и . За ,
Њумановиот метод ја докажува ТПБ со прикажување на интегралот