В математике, в частности в комплексном анализе, теорема Фату — результат о граничном поведении голоморфных функций в единичном круге. Названа в честь французского математика Пьера Фату.
Теорема Если дана голоморфная функция , определённая на единичном круге , естественно поставить вопрос о возможности продолжения этой функции на границу круга. Для этого рассматривают значения функции на окружностях радиуса
где
— единичная окружность.
Если функция допускает продолжение на окружность, то естественно ожидать, что его значения должны получаться как предел функций при . Таким образом, задача сводится к выяснению, в каком смысле сходятся функции и при каких условиях этот предел существует. Если величины
равномерно ограничены при (то есть функция принадлежит пространству Харди ), имеет место следующий результат.
Нетангенциальные пределы
Естественный вопрос состоит в следующем: если граничная функция определена, будет ли сходиться к поточечно и при иных способах приближения к границе? Иными словами, пусть вместо движения по радиусу мы приближаемся к точке по произвольной кривой , для которой . Обязательно ли тогда ? Оказывается, для этого кривая должна подходить к границе нетангенциально: она не должна «прилипать» к окружности, приближаясь к точке касательно. Другими словами, образ должен целиком лежать в некоторой угловой области, направленной внутрь диска и имеющей вершину в предельной точке.
Определение. Пусть — непрерывный путь такой, что . Положим
То есть — это угловая область внутри диска с углом раствора , симметричная относительно радиуса, соединяющего точку с . Говорят, что сходится к нетангенциально, если существует такое, что образ содержится в и .
Обсуждение
Доказательство использует симметрию ядра Пуассона и опирается на на окружности. Аналогичный результат имеет место для пространства Харди в верхней полуплоскости; его доказательство проводится по существу тем же способом.
См. также Пространство Харди
Литература
John B. Garnett, Bounded Analytic Functions, (2006) Springer-Verlag, New York
Walter Rudin. Real and Complex Analysis (1987), 3rd Ed., McGraw Hill, New York. Elias Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions (1970), Princeton University Press, Princeton.
Категория:Комплексный анализ Фату