Число Геєша фігури — найбільша кількість шарів копій цієї ж фігури, які можуть оточувати її.
Задача Геєша — задача визначення набору чисел, які можуть бути числами Геєша. І те, й інше названо ім'ям німецького геометра , який знайшов мозаїку з числом Геєша 1 (об'єднання квадрата, правильного трикутника і трикутника з кутами 30-60-90) і запропонував загальнішу задачу. Наприклад, квадрат можна оточити нескінченною кількістю шарів конгруентних квадратів у квадратному паркеті, тоді як коло не можна оточити без дірок навіть одним шаром рівних кіл. Число Геєша квадрата нескінченне, а число Геєша кола дорівнює нулю. У складніших прикладах, таких, як на малюнку, багатокутна плитка може бути оточена кількома шарами, але не нескінченною кількістю шарів. Найбільша кількість шарів є числом Геєша плитки.
Формальне визначення Замощення площини — це розрізання площини на ділянки, звані плитками. Нульова корона плитки визначається як сама плитка, а для k > 0 k-та корона — це множина плиток, які мають спільну точку з (k − 1)-ою короною. Число Геєша фігури S — це найбільше значення k, для якого існує замощення і плитка t в цьому заміщенні, для якої всі плитки від нульової до k-тої корони плитки t конгруентні S. У деяких працях додатково потрібно, щоб об'єднання корон від нульової до k-тої було однозв'язною областю.
Якщо немає верхньої межі кількості шарів, якими можна оточити плитку, кажуть, що її число Геєша нескінченне. В цьому випадку на основі леми Кеніга можна показати, що існує замощення всієї площини конгруентними копіями плитки.
Приклад Розглянемо многокутник P, показаний на малюнку праворуч, утворений із правильного шестикутника додаванням виступів на двох сторонах та виїмок на трьох сторонах. Малюнок показує замощення, що складається з 61 копії P однієї нескінченної області і чотирьох ромбів усередині четвертого шару. Перші чотири корони від центрального многокутника складаються виключно з копій плитки P, так що число Геєша дорівнює щонайменше чотирьом. Неможливо розподілити многокутники так, щоб уникнути ромбоподібних «дір», оскільки 61 копія плитки P має занадто багато западин, щоб виступи могли їх заповнити. Отже, число Геєша плитки P дорівнює рівно чотири. Згідно з посиленим визначенням, щоб корона була однозв'язною, число Геєша дорівнює трьом. Цей приклад виявив .
Відомі результати Невідомо, чи всім додатним числам відповідають числа Геєша. Перший приклад многокутника з числом Геєша 2 дала Анн Фонтен, показавши, що цю властивість мають нескінченне число фігур поліміно. Кейзі Манн побудував сімейство плиток, кожна з числом Геєша 5, яке нині є найбільшим відомим. Плитки Манна мають число Геєша 5 навіть за строгих умов, що кожна корона має бути однозв'язною.
Для відповідної задачі на гіперболічній площині число Геєша може бути як завгодно великим.
Примітки
Література
Как цитировано Грюнбаумом и Шепардом и Фонтани .
Посилання