Розподіл Рейлі або розподіл Релея — це розподіл імовірностей випадкової величини із щільністю
де — параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд
Введено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Релеєм) у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.
Властивості Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:
де — Гамма-функція.
Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Релея виражається як:
і
Мода дорівнює , а максимум щільності
Коефіцієнт асиметрії задається як:
Формула для обчислення коефіцієнта ексцесу:
Характеристична функція задається формулою:
де — комплексна функція помилок. Формула для твірної функції моментів
де — функція помилок.
Ентропія інформації Ентропія інформації задається як
де — стала Ейлера — Маскероні.
Застосування У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за і , отримаємо вираз величини промаху у формі . У цьому випадку величина має розподіл Релея. У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу. Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.
Зв'язок з іншими розподілами Якщо і — незалежні випадкові величини з розподілом Гауса, що мають нульові математичні сподівання і однакові дисперсії , то випадкова величина має розподіл Релея. Якщо незалежні Гаусівскі випадкові величини і мають ненульові математичні сподівання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса. Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з має розподіл хі-квадрат із двома ступенями свободи.
Див. також Розподіл хі-квадрат Розподіл Райса