Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.
Твердження
Нехай C — простий замкнутий контур. Нехай функція f мероморфна в області обмеженій і не має на C ні нулів ні полюсів. Тоді справедлива формула:
де і — кількість нулів і полюсів функції в області обмеженій , з врахуванням кратності.
Доведення Якщо точка є нулем порядку n функції тоді можна записати , і функція є голоморфною в точці і не дорівнює в ній нулю. Продиференціювавши одержимо
Поділивши на f одержуємо:
.
Отже має простий полюс в точці і лишок в цій точці рівний:
що рівно порядку нуля.
Якщо точка є полюсом порядку m, то де функція є голоморфною в точці і не дорівнює в ній нулю.
Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:
і лишок в цій точці буде рівним
Нехай тепер — нулі функції f порядків і — полюси функції f порядків Згідно з попереднім усі ці точки є простими полюсами функції лишки в яких рівні відповідно і Згідно з основною теоремою про лишки звідси одержується:
Див. також Основна теорема про лишки Теорема Руше Теорема Гурвіца (комплексний аналіз)
Джерела