Кубооктаедр ТипБагатогранник АрхімедаОднорідний багатогранникВластивостіНапівправильний опуклий, рівносторонній, (тобто і вершинно-транзитивний і реберно-транзитивний)КомбінаторикаЕлементи 14 граней (8{3}+6{4}) 24 ребра12 вершин (4-го степеня)Грані8 Правильних трикутників, 6 КвадратівХарактеристика ЕйлераКонфігурація вершини 3.4.3.4 = [3.4]2 В кожній вершині сходяться 2 трикутника та 2 квадрата.Вершинна фігура Прямокутник з довжинами сторін 1 та √2КласифікаціяПозначення • aC, aaT (в ) • U07 (як однорідний багатогранник) • C25 (в нотації Коксетера) • W11 (в нотації Веннінґера)Символ Шлефлі r{3,4} або rr{3,3} або t1{4,3} або t0,2{3,3} Символ Висофа Діаграма Коксетера-Динкіна або (o4x3o) Група симетріїOh, B3, [4,3], (*432), порядок 48 (Повна ) Td, [3,3], (*332), порядок 24Група поворотів O, [4,3]+, (432), порядок 24Дуальний многогранникРомбододекаедр Розгортка
Кубооктаедр — напівправильний опуклий багатогранник, одне з тіл Архімеда, що володіє двома властивостями:
Всі грані є правильними багатокутниками (двох типів: правильні трикутники та квадрати); Для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух, що переводить багатогранник сам в себе), яка переводить одну вершину в іншу.
Складається з 14 граней (8 правильних трикутників та 6 квадратів).
Важливою ознакою багатогранника є те, що він має тільки два типи граней, причому кожна грань одного типу сусідня тільки з гранями іншого типу, тобто грані чергуються навколо кожної вершини. Ці багатогранники реберно-транзитивні, тому на крок ближче до правильних багатогранників, ніж напівправильні, які лише вершинно-транзитивні. Багатогранники, що мають цю властивість, називаються квазіправильними. Існує ще тільки один опуклий квазіправильний багатогранник — ікосододекаедр.
В кубооктаедрі 12 однакових вершин, в яких сходяться два трикутники і два квадрати, а також 24 однакових ребра, кожне з яких розділяє між собою трикутну і квадратну грані.
Двоїстий до кубооктаедра многогранник — ромбододекаедр.
Графічне зображення
Кубооктаедр можна отримати з куба або октаедра, застосувавши до них геометричну операцію «» ‒ процес зрізання багатогранника шляхом позначки середини всіх його ребер і відсічення всіх вершин аж до цих точок.
Наступна послідовність многогранників ілюструє утворення кубооктаедра:
Кубооктаедр з ребром є спільною частиною поєднанняя куба з ребром та октаедра з ребром . При цьому кубооктаедр займає об'єму, що займає куб та об'єму, що займає октаедр.
Кубооктаедр можна розділити площиною на дві рівні частини. При цьому переріз матиме форму правильного шестикутника. Таких шестикутних перерізів кубооктаедр має чотири. При цьому утворюються два трисхилих купола — багатогранник Джонсона J3, повернені відносно один одного. Тому кубооктаедр також можна назвати скрученим трисхилим бікуполом.
При іншому екваторіальному перерізі кубооктаедра утворюється квадрат.
Формули
Діагоналі Кількість діагоналей опуклого багатогранника: , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для кубооктаедра:
діагоналі (12 граневих та 30 просторових).
Діагоналі кубооктаедра з довжиною ребра Гранева діагональ Просторові діагоналі
Метричні характеристики Для кубооктаедра з довжиною ребра а: Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини) Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер) Радіус сфери r3 та r4 (дотична до всіх трикутних граней та відповідно, квадратних граней в їх центрах)Вписаної сфери кубооктаедр не маєВисота H3 та H4 (Відстань між протилежними трикутними та протилежними квадратними гранями) Площа поверхні Об'єм
Кути Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°.
Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300°.
Кути багатогранникаКут між несусідніми ребрамипри вершині rad = 120°Кут, під яким ребро кубооктаедра видно з його центра rad = 60°Двогранний кут між гранями {3} та {4}≈ 2.18627603546528 rad ≈ 125° 15′ 51.80285791′′Тілесний кут при вершині ср срТілесний кут, під якимм трикутну грань видно з центру кубооктаедра срТілесний кут, під якимм квадратну грань видно з центру кубооктаедра ср Сферичність
Зірчасті форми кубооктаедра
Продовження граней кубооктаедра призводить до чотирьох зірчастих багатогранників:
Грані зірчастих форм кубооктаедра
Перша зірчаста форма виходить шляхом добудови на гранях кубооктаедра трикутних та чотирикутних пірамід і є сполукою куба та октаедра.
Наступна зірчаста форма утворена шляхом приєднання 24 біпірамід до сполуки куба та октаедра.
Третя зірчаста форма кубооктаедра є поєднанням шести прямих квадратних пірамід.
Остання зірчаста форма кубооктаедра є поєднанням зірки Кеплера (зірчастого октаедра) і трьох правильних чотирикутних призм, загальною частиною яких є вихідний куб.
Ортогональні проєкції Кубооктаедр має чотири спеціальних ортогональних проєкцій, що центровані по вершині, ребру та двох типах граней (трикутній та квадратній). Дві останні відповідають площинам Кокстера B і A. Косі проекції показують квадрат і шестикутник, що проходять через центр кубоктаедра. + Ортогональні проєкції кубооктаедраЦентровані поВершиніРебруТрикутнійграніКвадратнійграніКосі проєкціїЗображенняПроєктивнасиметріяРомбододекаедр (Двоїстий багатогранник)Зображення
Граф кубооктаедра
В теорії графів граф кубооктаедра — це один з архімедових графів, що має кістяк кубооктаедра.
Він має 12 вершин степеня 4 і 24 ребра.
Граф кубооктаедра — планарний локально лінійний граф, який можна утворити як реберний граф куба або приклеюванням антипризм у внутрішню та зовнішню грані 4-циклу. Також він є та симетричним графом.
Граф кубооктаедра є цілим графом та має спектр
Має 200 гамільтонових циклів. Деякі з них:
{1 — 2 — 3 — 4 — 8 — 9 — 5 — 10 — 6 — 11 — 12 — 7 — 1}
{1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 9 — 10 — 6 — 11 — 7 — 12 ‒ 8 — 1}
{1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 10 — 6 — 11 — 7 — 12 — 9 ‒ 8 — 1}
Цікаві відомості
Заповнення простору Кубооктаедрами неможливо заповнити тривимірний простір без проміжків та накладень, тому що при змиканні квадратів залишається незайнятим простір у вигляді октаедра, а при змиканні трикутників — у вигляді кубів. Заповнити тривимірний простір без проміжків і накладень можна за допомогою кубооктаедрів та інших багатогранників, наприклад, октаедрів чи кубів.
Кубоктаедр можна отримати, взявши екваторіальний переріз чотиривимірних 24-комірника або 16-комірника.
Правильний ікосаедр топологічно ідентичний кубооктаедру з 6 квадратними гранями, розбитими по діагоналях.
Двоїстий багатогранник
Кубооктаедр має канонічно-двоїстий багатогранник. Середньовписані сфери канонічно двоїстої пари багатогранників співпадають. Для такого способу побудови — двоїстий багатогранник до двоїстого співпадає з початковим. Грань двоїстого будується методом Дормана Люка (метод діє лише для однорідних багатогранників).
Канонічно двоїстим багатогранником до кубооктаедра є Ромбододекаедр.
Має 12 граней: ромби з гострим кутом ; 24 ребер, 14 вершин.
Якщо ребро кубооктаедра дорівнює , то ребро двоїстого ромбододекаедра дорівнює
Споріднені багатогранники Кубооктаедр належить до родини однорідних многогранників, пов'язаних з кубом та октаедром.
Кубоктаедр має повну Oh, порядок 48. В цьому випадку його можна розглядати як октаедр або повністю зрізаний куб.
Кубоктаедр також має тетраедричну симетрію Td, порядок 24 з двома кольорами трикутників. Його можна розглядати як тетраедр і можна назвати ромботетратетраедром:
+ Родина однорідних тетраедричних багатогранниківСиметрія: [3,3], (*332)[3,3]+, (332){3,3}t{3,3}r{3,3}t{3,3}{3,3}rr{3,3}tr{3,3}sr{3,3}Двоїсті многогранникиV3.3.3V3.6.6V3.3.3.3V3.6.6V3.3.3V3.4.3.4V4.6.6V3.3.3.3.3 Кубоктаедр також має симетрію D3d, порядок 12. В цьому випадку його можна розглядати як трисхилий повернутий бікупол.
Джерела
Пчелінцев В. О. Кристалографія, кристалохімія та мінералогія. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Суми: Вид-во СумДУ, 2008, — 232с. Гордєєва Є. П., Величко В. Л. Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007, — 198с. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, — 568с.
Примітки