Суперінтегровна гамільтонова система — це гамільтонова система на -мірному симплектичному многовиді , для якого виконуються наступні умови: (i) Існують незалежних інтегралів руху . Їх поверхні рівня (інваріантні підмноговиди) утворюють розшарований многовид над зв'язаною відкритою підмножиною .
(ii) Існують гладкі дійсні функції на , такі що дужки Пуассона інтегралів руху мають вигляд .
(iii) Матриця має сталий коранг на .
Якщо , то це — випадок цілком інтегровної гамільтонової системи. Теорема Міщенко — Фоменко для суперінтегровних гамільтонових систем наступним чином узагальнює теорему Ліувілля — Арнольда про змінні дія — кут.
Нехай інваріантні підмноговиди суперінтегровної гамільтонової системи зв'язані, компактні і взаємодифеоморфні. Тоді розшарований многовид є локальним тривіальним розшаруванням на тори . Для даного його шару існує його відкритий окіл , що є тривіальним розшаруванням, наділеним пошаровими узагальненими координатами дія — кут , , , такими що — координати на . Ці координати є канонічними координатами на симплектичному многовиді . При цьому гамильтониан суперінтегровної системи залежить тільки від змінних дії , що є функціями Казимира коіндукованої пуассонової структури на .
Теорема Ліувілля — Арнольда для цілком інтегровних систем і теорема Міщенко — Фоменко для суперінтегровних систем були узагальнені на випадок некомпактних інваріантних підмноговидів. Вони дифеоморфні тороїдальним циліндрам .
Література Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113. Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; . Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93. Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; . Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363.