Геронів трикутник — трикутник, сторони і площа якого є цілими числами. Геронові трикутники названі на честь грецького математика Герона. Термін іноді розуміється дещо ширше і поширюється на трикутники, що мають раціональні сторони і площу.

Властивості Всі прямокутні трикутники, сторони яких утворюють піфагорові трійки, є героновими, оскільки сторони їх за визначенням цілочислені, а площа теж цілочислена, оскільки є половиною твори множення, один з яких обов'язково має парну довжину.

Прикладом геронова трикутника, який не має прямого кута, можна навести рівнобедрений трикутник зі сторонами 5, 5 і 6, площа якого дорівнює 12. Цей трикутник виходить шляхом об'єднання двох прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5 уздовж сторони завдовжки 4. Цей підхід працює і в загальному випадку, як показано на малюнку справа. Береться піфагорова трійка (a, b, c), де c — найбільша сторона, потім інша трійка (a, d, e), в якій найбільшою стороною буде e, будуються трикутники за заданими довжинами сторін і об'єднуються вздовж сторони з довжиною a, одержуючи трикутник зі сторонами c, e і b + d і площею

(половина добутку основи на висоту).

Якщо a парна, то площа буде цілим числом. Менш очевидний випадок, коли a непарна, але і в цьому випадку A залишається цілим, оскільки сторони b і d повинні бути парними числами, а отже, і b+d буде парним теж.

Деякі геронові трикутники неможливо отримати об'єднанням прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами методом, описаним вище. Так, наприклад, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 і площею 72 не можна отримати з двох піфагорових трикутників, оскільки жодна з його вершин не є цілим числом. Не можна також побудувати примітивний піфагорів трикутник з двох менших піфагорових трикутників. Такі геронові трикутники називаються нерозкладними. Однак, якщо дозволити піфагорові трійки з раціональними значеннями, відмовившись від цілочисленості, то розбиття на два прямокутних трикутника з раціональними сторонами завжди існує, оскільки всі висоти геронова трикутника є раціональними числами (оскільки висота дорівнює подвоєній площі, діленій на основу, і обидва ці числа є цілими). Так, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 можна отримати з раціональних піфагорових трикутників зі сторонами 7/5, 24/5, 5 і 143/5, 24/5, 29. Зауважимо, що раціональні піфагорові трійки є просто версіями цілочисельних піфагорових трійок, поділених на ціле число.

Точна формула для геронових трикутників Будь-який геронів трикутник має сторони, пропорційні значенням

Півпериметр Площа Радіус вписаного кола

для цілих m, n і k, де

.

Коефіцієнт пропорційності в загальному випадку є раціональним числом , де приводить отриманий геронів трикутник до примітивного, а розтягує його до необхідних розмірів. Наприклад, взявши m = 36, n = 4 і k = 3, отримаємо трикутник зі сторонами a = 5220, b = 900 і c = 5400, який подібний геронову трикутнику 5, 29, 30, і коефіцієнт пропорційності має чисельник p = 1 і знаменник q = 180.

Оскільки площа правильного трикутника з раціональними сторонами є ірраціональним числом, ніякий рівносторонній трикутник не може бути героновим. Однак існує послідовність геронових трикутників, які «майже правильні», оскільки їх сторони мають вигляд n − 1, n, n + 1. Кілька перших прикладів цих майже рівносторонніх трикутників перераховані в таблиці нижче ().

Приклади Список примітивних цілочисельних геронових трикутників, відсортований по площі і, в разі рівності площ, по периметру. «Примітивний» означає, що найбільший загальний дільник трьох довжин сторін дорівнює 1. ПлощаПериметрДовжина сторін61254312166551218855243215134303013125363617109365426253424220157603613131060401715860502413136060292566644201311726430295844215141384482117108456252478472352989054251712901085351411476372019120501717161206430171712080392516126542120131268441281512610852515132663025111567837261515610451401316864252514168843935101689848252518080373013180904140919813265551220468262517210702921202107028251721084392817210843735122101406865721030014914832161628073923410852411524090403713252843534152529845401325214470659264964437152641326534332701085229272881628065173001507451253002501231225306108513720330100443917330110523325330132616011330220109100113369841401733611253352433612861521533639219519343609036292536010041411836016280414139015675681339617687553439619897901139624212010913

Порівнянні трикутники Фігура називається порівняною, якщо площа дорівнює периметру. Є рівно п'ять порівнянних геронових трикутників — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17)

Майже рівносторонні геронові трикутники Оскільки площа рівностороннього трикутника з раціональними сторонами є ірраціональним числом, жоден рівносторонній трикутник не є трикутником Герона. Однак послідовність рівнобедрених трикутників Герона, які є «майже рівносторонніми», можна сконструювати подвоєнням прямокутних трикутників, у яких гіпотенуза майже удвічі довша за один із катетів. Перші кілька прикладів цих майже рівносторонніх трикутників наведено в наступній таблиці (): Довжина сторони Площа a b=a c 5 5 6 12 17 17 16 120 65 65 66 1848 241 241 240 25080 901 901 902 351780 3361 3361 3360 4890480 12545 12545 12546 68149872 46817 46817 46816 949077360

Існує унікальна послідовність трикутників Герона, які є «майже рівносторонніми», у яких три сторони мають вигляд n − 1, n, n + 1. Перші кілька прикладів цих майже рівносторонніх трикутників наведено в наступній таблиці (): Довжина сторониПлощаРадіус вписаного колаn − 1nn + 1345611314158445152531170151931941951629656723724725226974209270127022703316134078010083100841008544031786291137633376343763561328366410864 Наступне значення для n можна знайти, помноживши попереднє на 4, а потім віднявши значення, яке йому передує (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, і т. д.). Таким чином,

,

де t означає номер рядка в таблиці. Ця послідовність є послідовністю Люка. Можна також отримати цю послідовність за формулою для всіх n. Якщо покласти A = площа, а y = радіус вписаного кола, то

,

де {n, y} є рішеннями рівняння n2 − 12y2 = 4. Невелика підстановка n = 2x дає відоме рівняння Пелля x2 − 3y2 = 1, рішення якого можна отримати з розкладання √3 в безперервний дріб.

Змінна n має вигляд , де k дорівнює 7, 97, 1351, 18817, …. Числа в цій послідовності мають властивість, що k послідовних цілих мають цілочисельне середньоквадратичне відхилення.Online Encyclopedia of Integer Sequences, .

Див. також

Прямокутний трикутник Трикутник

Примітки

Посилання

Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian