thumb|250px|Częściowe przepuszczanie i odbicie impulsu przemieszczającego się od ośrodka o niskim do ośrodka o wysokim współczynniku załamania światła
Równania Fresnela (lub współczynniki Fresnela) opisują odbicie i przepuszczanie światła (ogólnie promieniowania elektromagnetycznego) podczas padania na granicę między różnymi ośrodkami optycznymi. Zostały wywnioskowane przez Augustina-Jeana Fresnela, który jako pierwszy opublikował opis matematyczny światła jako fali poprzecznej. Odtąd polaryzację można było rozumieć ilościowo, ponieważ równania Fresnela poprawnie przewidziały dwa różne zachowania fali padającej na powierzchnię ośrodka optycznego, oddzielnie dla polaryzacji typu i oddzielnie dla polaryzacji typu Polaryzacja (z niem. senkrecht), czyli z wektorem pola elektrycznego prostopadłym do płaszczyzny padania; w artykule: prostopadle do płaszczyzny ilustracji obejmującej wszystkie promienie. Polaryzacja (z niem. parallel) ma wektor pola elektrycznego równoległy do płaszczyzny padania..
Przegląd Gdy światło pada na powierzchnię między ośrodkiem o współczynniku załamania a drugim ośrodkiem o współczynniku załamania może wystąpić zarówno odbicie, jak i załamanie światła. Równania Fresnela opisują stosunki pól elektrycznych fal odbitych i przepuszczonych do pola elektrycznego fali padającej (pola magnetyczne fal można również powiązać przy użyciu podobnych współczynników). Ponieważ są to współczynniki zespolone, opisują one nie tylko względną amplitudę, ale także przesunięcie fazowe między falami.
Równania zakładają, że granica między ośrodkami jest płaska, a ośrodki są jednorodne i izotropoweBorn & Wolf, 1970, s. 38.. Przyjmuje się, że padające światło jest falą płaską, co wystarcza do rozwiązania każdego problemu, ponieważ każde padające pole świetlne można rozłożyć na fale płaskie i polaryzacje.
Polaryzacje s i p Istnieją dwa zestawy współczynników Fresnela dla dwóch różnych składowych liniowej polaryzacji fali padającej. Są one wystarczające dla każdego problemu, ponieważ dowolny stan polaryzacji można rozdzielić na kombinację dwóch prostopadłych polaryzacji liniowych. Podobnie światło niespolaryzowane (lub „przypadkowo spolaryzowane”) ma jednakową moc w każdej z dwóch polaryzacji liniowych.
Polaryzacja typu odnosi się do polaryzacji, w której wektor pola elektrycznego fali jest prostopadły do płaszczyzny padania (wektor pola elektrycznego jest w kierunku na obrazku poniżej); wtedy pole magnetyczne znajduje się w płaszczyźnie padania. Polaryzacja typu odnosi się do polaryzacji pola elektrycznego w płaszczyźnie padania (płaszczyzna poniżej); wtedy pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny padania.
Współczynniki odbicia i przepuszczania mocy thumb|300px|Zmienne używane w równaniach Fresnela thumb|Współczynniki mocy: padanie z powietrza do szkła thumb|Współczynniki mocy: padanie ze szkła do powietrza
Stosunek mocy odbijanej na granicy ośrodka do mocy padającej nazywamy współczynnikiem odbicia mocy a stosunek mocy przepuszczanej do drugiego ośrodka do mocy padającej nazywamy współczynnikiem przepuszczania mocy Należy pamiętać, że są to wartości mierzone bezpośrednio po każdej stronie granicy ośrodka, nieuwzględniające tłumienia fali w ośrodku pochłaniającym po przepuszczeniu lub odbiciuHecht, 1987, s. 100..
Moc fali jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy pola elektrycznego (lub magnetycznego).
Po prawej, na ilustracji płaszczyzny padania, padająca fala płaska z kierunkiem promienia IO pada w punkcie O na granicę między dwoma ośrodkami o współczynnikach załamania światła i Część fali odbija się w kierunku OR, a część załamuje się w kierunku OT. Promień padający, odbity i załamany tworzą z normalną powierzchni granicy ośrodków kąty oznaczone odpowiednio jako oraz (kąty mierzone od normalnej powierzchni).
Zależność między tymi kątami wynika z prawa odbicia:
i prawa Snelliusa:
Zachowanie się światła padającego na granicę ośrodka opisuje się matematycznie, biorąc pod uwagę pola elektryczne i magnetyczne, które tworzą falę elektromagnetyczną, oraz prawa elektromagnetyzmu, jak pokazano poniżej. Otrzymuje się stosunek amplitud pola elektrycznego fal (lub pola magnetycznego), ale w praktyce bardziej znaczące są wzory określające współczynniki mocy, gdyż strumień promieniowania albo irradiancję można zmierzyć bezpośrednio przy częstotliwościach optycznych.
Współczynnik odbicia światła spolaryzowanego wynosi:
podczas gdy współczynnik odbicia światła spolaryzowanego typu wynosi:
gdzie: i są odpowiednio impedancjami falowymi ośrodków 1 i 2.
Zakładamy, że media są niemagnetyczne (tj. μ0), co zwykle stanowi dobre przybliżenie przy częstotliwościach optycznych (i dla mediów przezroczystych przy innych częstotliwościach); wtedy impedancje falowe są określane wyłącznie na podstawie współczynników załamania światła i
gdzie: jest impedancją charakterystyczną próżni oraz Dokonując podstawienia otrzymujemy równania wykorzystujące współczynniki załamania:
Druga postać ww. równań bierze się z eliminacji po użyciu prawa Snelliusa i jedynki trygonometrycznej.
Z zasady zachowania energii można znaleźć przepuszczony strumień promieniowania (moc) lub irradiancję (moc na jednostkę powierzchni) wprost jako część mocy padającej, która nie zostaje odbitaHecht, 1987, s. 102.:
oraz
Należy zauważyć, że ww. irradiancje są mierzone w kierunku normalnym do granicy ośrodka; tak mierzy się w typowych doświadczeniach; można je uzyskać z irradiancji w kierunku fali padającej lub w kierunku fali odbitej (danej przez wielkość wektora Poyntinga fali) pomnożonej przez dla fali pod kątem do kierunku normalnego (lub równoważnie biorąc iloczyn skalarny wektora Poyntinga z wektorem jednostkowym normalnym do powierzchni granicy ośrodka)Lektury Bo Serneliusa, strona główna, patrz szczególnie Lecture 12 (ang.).Born & Wolf, 1970, s. 40, równania (20), (21)..
W wielu praktycznych zastosowaniach skupia się uwagę na świetle naturalnym, które można określić jako niespolaryzowane, a znaczy to tyle, że strumienie promieniowania (moce) polaryzacji i są równe; stąd wypadkowy współczynnik odbicia materiału jest średnią z dwóch współczynników odbicia:
W aplikacjach o małej precyzji opisujących niespolaryzowane światło np. w grafice komputerowej, zamiast obliczeń wypadkowego współczynnika odbicia dla każdego kąta, stosuje się przybliżenie Schlicka.
Przypadki szczególne Padanie normalne W przypadku kąta padania nie ma różnicy między polaryzacją i Zatem współczynnik odbicia upraszcza się do:
Dla zwykłego szkła w powietrzu współczynnik odbicia mocy przy padaniu normalnym może wynosić około 4% (albo 8% dla obu stron tafli szkła).
Padanie brewsterowskie Na granicy ośrodków dielektrycznych z do istnieje określony kątem padania, przy którym dąży do zera a fala padająca spolaryzowana jest całkowicie załamywana. Kąt ten, znany jako kąt Brewstera, wynosi dla granicy powietrze – zwykłe szkło ( i ) około 56°.
Całkowite wewnętrzne odbicie Kiedy światło przemieszczające się w gęstszym ośrodku pada na powierzchnię mniej gęstego ośrodka (tj. ), pod kątem większym niż kąt graniczny, to całe światło jest odbijane, a Zjawisko to, znane jako całkowite odbicie wewnętrzne, występuje przy kątach padania, dla których prawo Snelliusa przewiduje, że sinus kąta załamania przekroczyłby jedność (oczywiście sin dla wszystkich rzeczywistych ). Dla szkła w ośrodku powietrznym kąt graniczny wynosi około 41°.
Amplitudowe współczynniki odbicia i przepuszczania Równania wyżej wymienione dotyczące strumieni promieniowania (mocy), które można zmierzyć na przykład za pomocą fotometru, są wywiedzione z właściwych równań Fresnela, które opisują zjawisko fizyczne za pomocą amplitud pola elektrycznego i magnetycznego. Te podstawowe równania dają na ogół zespolone stosunki tych amplitud i mogą przybierać różne formy, w zależności od zastosowanych formalizmów. Współczynniki amplitudowe są zwykle reprezentowane małymi literami i natomiast współczynniki mocy są reprezentowane wielkimi literami i thumb|Współczynniki (amplitudowe): z powietrza do szkła thumb|Współczynniki (amplitudowe): ze szkła do powietrza
Współczynnik odbicia jest stosunkiem zespolonej amplitudy pola elektrycznego fali odbijanej do amplitudy fali padającej. Współczynnik przepuszczania jest stosunkiem amplitudy pola elektrycznego przepuszczonej (załamanej) fali do amplitudy fali padającej. Potrzeba odrębnych wzorów dla polaryzacji i W każdym przypadku zakładamy: falę płaską padającą pod kątem padania na płaszczyznę granicy ośrodka, falę odbijaną pod kątem oraz falę przepuszczaną pod kątem zgodnie z rysunkiem. Warto zauważyć, że w przypadkach ośrodka pochłaniającego (gdzie jest zespolone) albo całkowitego wewnętrznego odbicia, kąt fali przepuszczanej może nie być liczbą rzeczywistą.
Rozważamy znak pola elektrycznego fali w relacji do kierunku fali. Dla polaryzacji przy padaniu normalnym, dodatni kierunek pola elektrycznego fali padającej jest przeciwny do tego kierunku pola fali odbijanej, jednak tylko kiedy drugi ośrodek jest gęstszy tj. dla (dla polaryzacji wektory pola elektrycznego leżą w płaszczyźnie padania). Dla polaryzacji oba kierunki pola elektrycznego są takie same (tj. wektory pola elektrycznego są prostopadle do płaszczyzny padania).
Korzystając z tej konwencji:
Widać, że Hecht, 2002, s. 116, równania (4.49), (4.50). i Można napisać podobne równania dotyczące relacji pól magnetycznych fal.
Ponieważ fale odbita i padająca rozchodzą się w tym samym ośrodku i tworzą ten sam kąt z normalną granicy ośrodków, to współczynnik odbicia mocy jest kwadratem modułu Hecht, 2002, s. 120, równanie (4.56).:
Obliczenie współczynnika przepuszczania mocy jest mniej proste, ponieważ światło przemieszcza się w różnych kierunkach w dwóch ośrodkach, a impedancje falowe w dwóch ośrodkach różnią się; moc jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy tylko wtedy, gdy impedancje ośrodków są takie same (jak w przypadku fali odbitej). OtrzymujemyHecht, 2002, s. 120, równanie (4.57).:
Czynnik jest odwrotnością stosunku impedancji falowych ośrodków (ponieważ przyjmujemy ). Czynnik wynika z wyrażania mocy w kierunku normalnym do granicy ośrodków, zarówno dla fali przepuszczanej, jak i padającej.
W przypadku całkowitego wewnętrznego odbicia, w którym przenoszenie mocy jest zerowe, opisuje pole elektryczne (w tym jego fazę) tuż za granicą ośrodka. Jest to pole zanikające, które nie rozprzestrzenia się jak fala (a więc ), ale ma niezerowe wartości bardzo blisko przy granicy ośrodków. Przesunięcie fazy fali odbitej w całkowitym odbiciu wewnętrznym może być otrzymane z kątów fazowych z i (których moduły liczby zespolonych równe są 1). Te przesunięcia fazowe są różne dla polaryzacji i co jest dobrze znaną zasadą, za pomocą której całkowite odbicie wewnętrzne stosuje się do zmiany polaryzacji.
Prawa sinusa i tangensa Fresnela W powyżej formule na podstawiając (prawo Snelliusa) i mnożąc licznik i mianownik przez otrzymujemyFresnel, 1866, s. 773.Hecht, 2002, s. 115, równanie (4.42).:
Podobnie dla otrzymujemyFresnel, 1866, s. 757.Hecht, 2002, s. 115, równanie (4.43).:
Powyższe dwie formułyE. Verdet, u Fresnela, 1866, s. 789n.Born & Wolf, 1970, s. 40, równanie (21a).Jenkins & White, 1976, s. 524, równanie (25a). są znane jako odpowiednio prawo sinusa Fresnela i prawo tangensa FresnelaWhittaker, 1910, s. 134; Darrigol, 2012, s. 213. (ang.).. W padaniu normalnym ostatnie wyrażenie daje dzielenie przez zero, a prawidłowy wynik otrzymuje się w granicy
Wiele powierzchni Gdy światło dokonuje wielokrotnych odbić między dwiema (lub więcej) równoległymi powierzchniami, wiązki światła interferują ze sobą, co powoduje wypadkowe transmisje i odbicia w zależności od długości fali światła. Zakłócenia są jednak widoczne tylko wtedy, gdy powierzchnie znajdują się w odległości porównywalnej lub mniejszej od drogi spójności światła, która dla zwykłego białego światła wynosi kilka mikrometrów; może być jednak znacznie większa dla światła lasera.