mały|alt=Od lewej do prawej: punkt (oznaczony 0), odcinek (oznaczony 1), trójkąt (oznaczony 2) i czworościan (oznaczony 3).|Cztery sympleksy, które można w pełni przedstawić w przestrzeni trójwymiarowej. thumb|Czworościan czyli trójwymiarowy sympleks.
Sympleks – uogólnienie punktu, odcinka, trójkąta i czworościanu na dowolne wymiary. Intuicyjnie, -wymiarowym sympleksem nazywamy -wymiarowy wielościan, który jest wypukłą otoczką swoich wierzchołków.
Definicja w przestrzeni liniowej Def. 1 Niech będą wektorami w -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej, przy czym i niech wektory tworzą układ liniowo niezależny. Sympleksem -wymiarowym o wierzchołkach nazywamy -wymiarowy wielościan wypukły zadany przez zbiór wektorów:
Def. 1' (równoważna wobec Def. 1) Niech będą wektorami -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej, gdzie i niech wektory będą liniowo niezależne. Sympleksem -wymiarowym nazywamy nazywamy -wymiarowy wielościan zadany przez zbiór wektorów:
Układ wektorów tworzy wierzchołki sympleksu
Definicja w przestrzeni afinicznej Def. 2 Niech będą punktami -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni afinicznej, gdzie oraz niech wektory tworzą układ liniowo niezależny. Sympleksem -wymiarowym o wierzchołkach jest zbiór wypukły punktów taki że
Uwagi:
(1) Zbiór nie zależy od wyboru punktu
(2) Każdy punkt tak zdefiniowanego sympleksu jest średnią ważoną wektorów o wagach odpowiednio , przy czym wagi spełniają warunek (tzw. kombinacja wypukła).
(3) Sympleks jest najmniejszym wypukłym zbiorem zawierającym punkty
Def. 2' (równoważna wobec Def. 2) Niech będą punktami rzeczywistej przestrzeni afinicznej -wymiarowej, gdzie oraz niech wektory tworzą układ liniowo niezależny. Sympleksem -wymiarowym o wierzchołkach jest zbiór punktów
Tak zdefiniowany zbiór nie zależy od sposobu ponumerowania układu punktów
Przestrzeń euklidesowa W przestrzeni euklidesowej: sympleks zerowymiarowy to punkt, sympleks jednowymiarowy to odcinek, sympleks dwuwymiarowy to trójkąt, sympleks trójwymiarowy to czworościan (niekoniecznie foremny), sympleks czterowymiarowy to 5-komórka,
i ogólnie: sympleks -wymiarowy to wielokomórka, której ścianami jest sympleksów -wymiarowych.
Lista sympleksów Poniżej znajduje się lista -wymiarowych sympleksów (do włącznie). + Δn Grafika(skośny rzut ortogonalny z ang.:skew orthogonal projection) Nazwasymbol Schläfliegodiagram Coxetera-Dynkina Wierzchołków0-wym. Krawędzi1-wym. Ścian2-wym. Komórek3-wym. 4-wym. 5-wym. 6-wym. 7-wym. 8-wym. 9-wym. 10-wym. Δ0 50px 0-sympleks (punkt) 1 Δ1 50px 1-sympleks (odcinek){}Plik:CDW ring.png 2 1 Δ2 50px 2-sympleks (trójkąt){3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 3 3 1 Δ3 50px 3-sympleks (czworościan){3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 4 6 4 1 Δ4 50px 4-sympleks (pentachoron){3,3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 5 10 10 5 1 Δ5 50px 5-sympleks{3,3,3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 6 15 20 15 6 1 Δ6 50px 6-sympleks{3,3,3,3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 7 21 35 35 21 7 1 Δ7 50px 7-sympleks{3,3,3,3,3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 8 28 56 70 56 28 8 1 Δ8 50px 8-sympleks{3,3,3,3,3,3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Δ9 50px 9-sympleks{3,3,3,3,3,3,3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Δ10 50px 10-sympleks{3,3,3,3,3,3,3,3,3}Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW dot.png 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
Wielkości opisujące sympleks Liczba k-wymiarowych sympleksów w sympleksie n-wymiarowym Dana jest dwuargumentowa funkcja określająca liczbę sympleksów -wymiarowych w sympleksie -wymiarowym, przy czym Oczywiste jest wówczas, że dowolny sympleks -wymiarowy składa się z: sympleksów zerowymiarowych, czyli wierzchołków:
dokładnie jednego sympleksu -wymiarowego, czyli z samego siebie:
Aby, mając dany -wymiarowy sympleks, utworzyć na jego podstawie sympleks -wymiarowy, należy dodać 1 nowy wierzchołek. Czyli -wymiarowy sympleks będzie miał wierzchołki.
Nowe krawędzie otrzymamy łącząc wierzchołków pierwotnego sympleksu z nowo utworzonym wierzchołkiem; liczba krawędzi w nowym sympleksie zwiększy się więc o .
Nowe ściany tworzymy, łącząc wszystkie wierzchołki pierwotnego sympleksu z nowym wierzchołkiem. Stąd też liczba ścian nowego sympleksu powiększy się o liczbę krawędzi w starym sympleksie.
Uogólnienie na dowolny wymiar: każdy -wymiarowy sympleks posiada pewną liczbę sympleksów -wymiarowych, która jest równa liczbie tych sympleksów dla -wymiarowego sympleksu, powiększoną o liczbę sympleksów -wymiarowych dla tego sympleksu
przy czym oraz
Na podstawie powyższych rozważań otrzymujemy wzór rekurencyjny na liczbę -wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie -wymiarowym
lub równoważny wzór jawny
Środek masy sympleksu Definicja jawna Jest to punkt będący średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych wszystkich wierzchołków -wymiarowego sympleksu:
Definicja rekurencyjna Dla sympleksu jednowymiarowego (odcinka) – średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych obu wierzchołków.
Dla sympleksu -wymiarowego, gdzie – punkt przecięcia się wszystkich środkowych sympleksu, przy czym środkowa sympleksu jest to odcinek łączący dowolny wierzchołek ze środkiem masy sympleksu -wymiarowego przeciwległego do tego wierzchołka.
Środek masy sympleksu foremnego Dowolny -wymiarowy sympleks foremny można zorientować w -wymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych w taki sposób, aby wartości -tej współrzędnej dla wierzchołków były równe 0, zaś wartość tej współrzędnej dla -tego wierzchołka była różna od 0. Wówczas owe n wierzchołków tworzy pewien -wymiarowy sympleks foremny, będący podstawą naszego sympleksu -wymiarowego, zaś wartość -tej współrzędnej określa jego wysokość. Ponieważ wartości tej współrzędnej wszystkich wierzchołków podstawy wynosi 0, jej wartość dla ich średniej arytmetycznej również wynosi 0. Wynika stąd, iż -ta współrzędna dla środka masy podstawy także ma wartość 0. Jedynie współrzędna ta dla -tego wierzchołka ma wartość różną od 0. W takim razie wartość -tej współrzędnej dla wszystkich wierzchołków jest sumą zer i jednej wartości różnej od zera, podzieloną przez Tak więc wartość tejże współrzędnej dla środka masy naszego -wymiarowego sympleksu jest ilorazem jego wysokości podzieloną przez Ostatecznie, środek danego sympleksu n-wymiarowego położony jest w odległości równej jego wysokości od środka masy jego podstawy i w odległości wynoszącej jego wysokości od wierzchołka przeciwległego do tej podstawy
Wysokość sympleksu foremnego Biorąc pod uwagę definicję sympleksu foremnego, jego podstawy, jak również i wysokości, udowodnić można prawdziwość poniższej rekurencyjnej zależności pomiędzy wysokością n-wymiarowego sympleksu foremnego a wysokością jego podstawy
Powyższą zależność odpowiednio przekształcamy:
Jako warunek brzegowy tej rekurencyjnej zależności, zakładamy, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, czyli odcinka, jest równy długości tegoż odcinka, czyli długości krawędzi naszego sympleksu:
Następnie, chcąc policzyć wysokość dowolnego -wymiarowego sympleksu foremnego, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla równego od 1 do W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:
Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:
Ostatecznie, wysokość -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości wyraża się wzorem:
Natomiast rekurencyjna zależność na tę wysokość:
Nietrudno policzyć, że wysokość sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:
Miara główna sympleksu foremnego Pod pojęciem miary głównej -wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem długości odcinka, pola powierzchni trójkąta równobocznego oraz objętości czworościanu foremnego, na -ty wymiar. Dowolny -wymiarowy sympleks foremny można podzielić na podstawę, składającą się z n wierzchołków, oraz -tego przeciwległego do tej podstawy wierzchołka. Pomiędzy podstawą a przeciwległym do niej wierzchołkiem istnieje pewna wielkość zwana wysokością sympleksu, która jest równa odległości tego wierzchołka od -wymiarowej hiperpłaszczyzny, w której zawarta jest podstawa. Wysokość sympleksu jest liniowo wprost proporcjonalna do odległości podstawy od przeciwległego do niej wierzchołka. Gdyby połączyć każdy wierzchołek podstawy z wierzchołkiem do niej przeciwległym, wówczas można zauważyć, że nasz -wymiarowy sympleks jest odzwierciedleniem tejże podstawy, znajdującej się w pewnej odległości od jej przeciwległego wierzchołka, w pewnej skali. Ponieważ wszystkie odcinki, uzyskane z połączenia wierzchołków należących do podstawy z przeciwległym do niej wierzchołkiem, są liniami prostymi, skala długości krawędzi podstawy jest liniowo wprost proporcjonalna do jej odległości od jej przeciwległego wierzchołka. Natomiast stosunek skal -wymiarowych miar głównych dwóch podstaw jest równy -szej potędze stosunku długości odpowiednich krawędzi tych podstaw. Wynika więc stąd, iż stosunek skal -wymiarowych miar głównych dwóch podstaw i jest równy -szej potędze stosunku odpowiednich wysokości i łączących te podstawy z przeciwległym do nich wierzchołkiem:
Mnożąc obie strony powyższego równania przez otrzymujemy:
Zakładamy, że pierwsza podstawa jest skalą podstawy naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do zaś druga podstawa jest podstawą tegoż sympleksu oraz pierwsza wysokość jest zmienną w przedziale od 0 do zaś druga wysokość jest wysokością tego sympleksu:
Wówczas miara główna naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego jest całką od 0 do ze skali tego sympleksu w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do
Tak więc z powyższego wyrażenia wynika, iż miara główna -wymiarowego sympleksu foremnego jest równa iloczynowi współczynnika miary głównej podstawy tegoż sympleksu oraz jego wysokości, co ma charakter rekurencyjny:
Ze wzoru na wysokość sympleksu foremnego łatwo zauważyć, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, a więc dla jest równa długości jego krawędzi:
Następnie, chcąc policzyć miarę główną naszego sympleksu, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla równego od 1 do W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:
Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:
Ostatecznie, miara główna -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości wyraża się wzorem:
Natomiast rekurencyjna zależność na miarę główną naszego sympleksu:
Nietrudno policzyć, że miara główna sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:
Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego