mały|300px|Wzór na rozwiązania równania kwadratowego, gdzie i to współczynniki postaci ogólnej. Wyrażenie pod pierwiastkiem jest znane jako wyróżnik równania kwadratowego, trójmianu kwadratowego lub funkcji kwadratowej. Wyróżnik bywa oznaczany dużą grecką literą delta:
Równanie kwadratowe, równanie drugiego stopnia Jolanta Schilling, Pojęcie równania kwadratowego. Wprowadzenie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-16]. – rodzaj równania, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze i opcjonalnie też w pierwszej. Zazwyczaj równanie kwadratowe w domyśle ma jedną niewiadomą – wtedy zawsze sprowadza się do postaci:
Założenie oznacza, że do równań kwadratowych nie zalicza się równań liniowych. Powyższe równanie nie jest jedyną definicją równania kwadratowego o jednej niewiadomej – istnieją też definicje równoważne, ponieważ wyrażenie po lewej zawsze da się przekształcić do innej postaci.
Niewiadoma i wielkości mogą być liczbami rzeczywistymi lub elementami dowolnej innej struktury, w której występują dodawanie i mnożenie. W tym artykule opisano głównie równania kwadratowe o zmiennych rzeczywistych. Jest to standardowy element wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo równania kwadratowe tego typu znalazły się w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym Podstawa programowa kształcenia ogólnego z komentarzem. Szkoła ponadpodstawowa: liceum ogólnokształcące, technikum oraz branżowa szkoła I i II stopnia, matematyka, Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl, s. 16 [dostęp 2025-08-17].. Równania kwadratowe stosuje się między innymi w geometrii, na przykład planimetrii Jolanta Schilling, Problemy z innych dziedzin wiedzy prowadzące do rozwiązywania równań kwadratowych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-18]..
Równania kwadratowe w powyższym sensie mają uogólnienia opisane w odpowiedniej sekcji.
Definicje W opisie równań kwadratowych z jedną niewiadomą używa się kilkunastu terminów – nazwanych pojęć. Opisują one różne postacie i odmiany takich równań, a oprócz tego: rozwiązanie równania to każda liczba, która po podstawieniu w miejsce i wykonaniu wszystkich działań daje równość. Inna nazwa rozwiązania to pierwiastek; jeśli istnieje tylko jedno rozwiązanie, to bywa znane jako pierwiastek podwójny.
Postać ogólna Dla równania kwadratowego z jedną niewiadomą postać ogólna to ta wspomniana wyżej Jolanta Schilling, Pojęcie równania kwadratowego. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-16].:
wyrażenie po lewej jest też znane jako trójmian kwadratowy; bliżej opisuje je artykuł o funkcjach kwadratowych; wielkości to współczynniki, kolejno: kwadratowy, liniowy i stały. Ten ostatni to inaczej wyraz wolny; jeśli wszystkie współczynniki są niezerowe, tzn. także i to równanie kwadratowe nazywa się zupełnym. W przeciwnym wypadku – czyli kiedy lub – równanie kwadratowe nazywa się niezupełnym. Ta druga nazwa opisuje dwa rodzaje równań:
Inne postacie Dla każdego trójmianu kwadratowego istnieje równoważna postać kanoniczna, przez co mówi się też o postaci kanonicznej równania kwadratowego:
Dalsze sekcje opisują: jak znajdować postać kanoniczną na podstawie tej ogólnej; jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej. Dla niektórych trójmianów kwadratowych – i przez to też równań kwadratowych – istnieje postać iloczynowa:
Liczby to rozwiązania – podstawione pod sprawiają, że lewa strona równości jest równa zeru Jolanta Schilling, Równanie kwadratowe zapisane w postaci iloczynowej. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-18].. W szczególności rozwiązania mogą być równe, tzn. może występować wspomniany wyżej pierwiastek podwójny: oznaczany też przez Wtedy postacią iloczynową równania jest:
W tym wypadku postać iloczynowa pokrywa się z kanoniczną: Wyrażenia i występujące w postaci iloczynowej są znane jako czynniki liniowe. Znajdowanie postaci iloczynowej to inaczej rozkład na czynniki liniowe Jolanta Schilling, Równanie kwadratowe zapisane w postaci iloczynowej. Wprowadzenie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-18]..
Równania kwadratowe niezupełne Brak wyrazu wolnego Najłatwiej rozwiązać równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego, czyli postaci:
Wystarczy skorzystać z rozdzielności mnożenia, czyli zamienić sumę iloczynów na jeden iloczyn:
Ta czynność bywa nazywana wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias. Następnie wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn może być zerowy tylko gdy któryś czynnik jest zerowy. Stąd dwa rozwiązania Jolanta Schilling, Równania kwadratowe niezupełne typu..., Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-18].:
Brak członu liniowego Drugi rodzaj równań kwadratowych niezupełnych jest postaci:
Można je przekształcić, wykonując działania na obu stronach równości:
Liczba rozwiązań rzeczywistych zależy tu od znaku prawej strony: jeśli jest ujemna – tzn. i mają zgodne znaki – to takich rozwiązań nie ma jeśli jest dodatnia – tzn. i mają przeciwne znaki – to ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. Dzięki temu rozwiązania są dwa:
Dwa powyższe rozwiązania można też uzasadniać własnościami wartości bezwzględnej i jednym ze wzorów skróconego mnożenia, konkretniej różnicą kwadratów Jolanta Schilling, Równania kwadratowe niezupełne typu..., Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-18].. Przykład użycia tej drugiej metody:
gdzie symbol oznacza spójnik „lub”.
Znaki współczynników i rozwiązań mały|Kartezjusz, fr. René Descartes (1596–1650)
Postać ogólna równania kwadratowego pozwala: szybko wykluczyć pewne rodzaje rozwiązań; wywnioskować, że pewien rodzaj rozwiązań musi istnieć.
Poniższa lista wyczerpuje wszystkie możliwe przypadki (scenariusze).
Jeśli wszystkie wszystkie współczynniki równania kwadratowego są nieujemne lub niedodatnie to równanie nie ma rozwiązań dodatnich . Twierdzenie odwrotne nie zachodzi – inne równania kwadratowe też mogą nie mieć rozwiązań dodatnich, na przykład:
Jeśli współczynniki kwadratowy i wolny mają zgodne znaki a współczynnik liniowy ma znak przeciwny to nie ma rozwiązań ujemnych. Przykład to równanie podane wyżej:
Po podstawieniu pod liczby ujemnej wszystkie trzy człony (składniki) są dodatnie, więc ich suma nie może być zerowa.
Jeśli współczynniki kwadratowy i wolny mają przeciwne znaki to istnieje co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie. Przykłady to równania:
Ostatni fakt wynika z twierdzenia Darboux, a wszystkie trzy reguły to szczególne przypadki reguły znaków Kartezjusza.
Inne szczególne przypadki Wzory skróconego mnożenia mały|Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy: Ten wzór pomaga rozwiązać niektóre równania kwadratowe zupełne, tzn. zawierające wszystkie trzy człony
Czasem zupełne równanie kwadratowe da się przedstawić w postaci iloczynowej, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Przykład – równanie:
Można je zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
Wtedy istnieje jedno rozwiązanie:
Współczynniki całkowite Istnieją pewne szczególne metody rozwiązywania równań o współczynnikach całkowitych – równań, gdzie współczynniki postaci ogólnej są liczbami całkowitymi:
W takich przypadkach istnieje metoda wyznaczania rozwiązań wymiernych, czyli ilorazów liczb całkowitych. Dokładniej:
Jeżeli liczba wymierna gdzie i są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to jest dzielnikiem a jest dzielnikiem
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.
Przykłady Rozwiązaniami wymiernymi równania
mogą być tylko liczby należące do zbioru Podstawiając otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie daje liczba podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość liczba jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest ).
Jeśli współczynniki są innymi liczbami wymiernymi, to równanie można sprowadzić do postaci opisanej wyżej. Wystarczy pomnożyć je stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) mianowników tych współczynników. Uzyskane równanie jest równoważne, tj. ma jednakowy zbiór rozwiązań.
Inne Jeżeli suma współczynników równania
jest równa zeru, tzn. to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli to liczba jest pierwiastkiem tego równania.
Przykład Równanie
na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy
Rozwiązania przypadku ogólnego Wyróżnik thumb|Przykłady różnych znaków wyróżnika:■ <0: x2 + 1⁄2■ =0: −4⁄3x2 + 4⁄3x − 1⁄3■ >0: 3⁄2x2 + 1⁄2x − 4⁄3
Ponieważ
(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości
oraz
Wyrażenie
nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli to
Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy to
gdzie jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi Jeżeli to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem Przypadki dla można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi (por. wzory Viète’a).
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile Dokładniej, jeśli: to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste), to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty), to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami gdzie jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.
Przykłady Równanie
ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
Są nimi: oraz
Równanie
po uporządkowaniu ma postać
Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ to rozwiązania mają postać
Równanie
ma jedno rozwiązanie gdyż wyróżnik
Dopełnianie do kwadratu Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli
to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:
skąd
a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się
co daje rozwiązania oraz
Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy
Przykłady Równanie
jest tożsame następującemu
kontynuując uzyskuje się
co jest równoważne
oraz
a więc rozwiązaniami są oraz
Wzory Viète’a mały|François Viète (1540–1603)
Znając jedno rozwiązanie, można szybko znaleźć drugie. Służą do tego wzory Viète’a, które dla wielomianu mają postać
Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu
spełniają równości i to można go zapisać jako
Oznacza to, że rozwiązaniami równania
którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby oraz
Przykłady Równanie
daje się przedstawić w postaci
skąd otrzymuje się rozwiązania oraz Równanie
można zapisać jako
co oznacza, że rozwiązaniami są liczby oraz
Uogólnienia mały|220px|Przykładowy okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych. Można go opisać równaniem kwadratowym o dwóch niewiadomych mały|220px|Przykładowe kwadryki – powierzchnie, które da się opisać równaniami kwadratowymi o trzech zmiennych rzeczywistych