right|frame|Ilustracja porządku liniowego
Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, tzn. taki częściowy porządek, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są (względem siebie) porównywalne.
Definicje Definicja. Porządek liniowy (na danym zbiorze ) to taki porządek częściowy na zbiorze , że spełnia on warunek spójności, będący postaci: .
Parę uporządkowaną nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem: .
Definicja. Podzbiór zbioru nazywa się (odpowiednio): gęstym, jeśli zachodzi warunek:
ograniczonym z góry, jeśli zachodzi warunek:
Inne definicje
Mówi się, że jest (odpowiednio): porządkiem bez końców, jeśli w nie ma tak elementu najmniejszego, jak i największego, tzn. jeśli są jednocześnie spełnione oba poniższe warunki (1.–2.): 1. nie zachodzi warunek: (istnienie elementu najmniejszego) 2. nie zachodzi warunek: (istnienie elementu największego) porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny. porządkiem gęstym, jeśli jest gęstym podzbiorem .
Przykłady Relacje niewiększości na zbiorze liczb całkowitych, wymiernych czy rzeczywistych są porządkami liniowymi. Szczególnym przypadkiem porządku liniowego jest dobry porządek. Porządek leksykograficzny na płaszczyźnie jest porządkiem liniowym: .
Własności Jeśli jest porządkiem liniowym na zbiorze oraz to zawężenie porządku do zbioru jest porządkiem liniowym na Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem). Przypuśćmy, że jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców taki że i zawężenie zgadza się z oraz jest gęstym podzbiorem Porządek jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
Działania Iloczyn leksykograficzny Niech będzie zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Niech będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego oraz niech będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków nazywa się porządek liniowy w zdefiniowany wzorem: ,
gdzie będzie pierwszym elementem w , dla którego dla dowolnych .
Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo i dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest co najmniej dwuelementowy, nigdy nie jest uporządkowany dobrze.
Ultraprodukt
Niech będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w o pustym przecięciu. Niech ponadto będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego oraz niech będzie ultraproduktem rodziny zbiorów względem ultrafiltru W ultraprodukcie definiujemy porządek liniowy jak następuje:
dla dowolnych gdzie oznacza klasę elementu
Zastosowania W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.
Przedziałowe algebry Boole’a Niech będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla symbol oznacza zbiór , tzn. przedział lewostronnie domknięty w .
Niech będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów które mogą być przedstawione w postaci dla pewnych elementów spełniających nierówności gdzie Wówczas jest ciałem podzbiorów
Algebra Boole’a jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez
Topologia porządkowa
Niech będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla symbol oznacza przedział otwarty w tzn. zbiór postaci . Wówczas rodzina:
pokrywa i jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też jest bazą pewnej topologii na Topologię tę nazywa się topologią porządkową lub topologią przedziałową. Topologia porządkowa zawsze spełnia aksjomat Hausdorffa (T2) i jest nawet przestrzenią T5Steen-Seebach, Counterexamples in topology..
Struktury algebraiczne W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi. Grupa liniowo uporządkowana to taka trójka uporządkowana , że (jednocześnie): jest grupą, jest porządkiem liniowym na , .
Ciało uporządkowane to taka szóstka uporządkowana , gdzie (jednocześnie): jest ciałem, jest porządkiem liniowym na , , .
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-02-04].
Kategoria:Własności porządków