Wielkość efektu – ilościowa miara siły zjawiska (np. różnica między grupą kontrolną a grupą eksperymentalną) obliczana na podstawie danych.
Miara ta uzupełnia wnioskowanie statystyczne, obok wartości p, nie stawiając hipotezy o rzeczywistym związku pomiędzy zmiennymi. Jest wykorzystywana w metaanalizach podsumowujących badania z danego obszaru nauki. Analiza mocy wybranego testu oraz planowanie wielkości próby wymagają podania założonej wielkości efektu. Na podstawie tej wartości wykonywane są dalsze obliczenia (wielkość próby, poziom istotności).
Ilustracją znaczenia wielkości efektu jest historia badania opublikowanego w 2014 przez pracowników portalu społecznościowego Facebook, które przyciągnęło dużą uwagę medialną. Jego wyniki zdawały się sugerować, kiedy zredukowano liczbę pokazywanych użytkownikowi postów o pozytywnie emocjonalnym wydźwięku, jego własne statusy również rzadziej zawierały wyrazy nacechowane pozytywne (d Cohena = 0,02), a częściej negatywnie (d Cohena = 0,001). Choć efekt ten był dzięki ogromnej wielkości próby bardzo „istotny statystycznie”, wielkości efektu (d=0,02, d=0,001) były bardzo bliskie zeru, więc zjawisko miało niemal zerowe znaczenie praktyczne. Komentarze prasowe w dużej mierze pomijały ten aspekt wyników, i skupiały się na nieetyczności samego niejawnego eksperymentu.
Z uwagi na różnorodność typów danych i zastosowanej metodologii istnieje wiele rodzajów wielkości efektu mierzących różne aspekty badania. Oszacowywanie wielkości efektu na podstawie danych wprowadza dodatkową mnogość wielkości efektów: w zależności od samych danych, od zastosowanej metodologii oraz przedmiotu zainteresowania badacza.
Podanie wielkości efektu jest nie tylko dobrą praktyką naukowca, ale też elementem koniecznym w publikacjach badań naukowych. Dodatkowo, raportując wielkość efektu, należy podać miernik, jakiego użyto do obliczenia tej wartości (np. d Cohena, r Pearsona).
Znaczenia pojęcia wielkości efektu Jacob Cohen zdefiniował pojęcie wielkości efektu jako stopień do jakiego zjawisko istnieje. W zależności od kontekstu, możemy posługiwać się trzema znaczeniami pojęcia wielkości. Zwykle nie prowadzi to do nieporozumień, ale należy zdawać sobie sprawę z istnienia sposobów ujęcia terminu „wielkość efektu”.
Wielkość efektu jako wymiar Wielkość efektu rozumiana jako wymiar jest abstrakcyjnym pojęciem dotyczącym typu informacji, który interesuje badacza w zjawisku. Jednocześnie nie jest związana z żadną konkretną operacjonalizacją ani jednostką. Przykładowo wielkością efektu jako wymiar może być zmienność, która sama w sobie nie wyraża się żadnym równaniem, ani też nie posiada jednostki, ale można ją ująć jako odchylenie standardowe, wariancję czy rozstęp.
Miernik (wskaźnik) wielkości efektu Miernik, inaczej: wskaźnik, wielkości efektu, to równanie, za pomocą którego obliczana jest wielkość efektu. Raportując wielkość efektu w pracy badawczej, należy podać jaki indeks zastosowano.
Wartość wielkości efektu Wartość wielkości efektu jest liczbą obliczoną na podstawie danych poprzez konkretne równanie matematyczne opisujące interesujący badacza wymiar wielkości efektu (np. zmienność). Wartość ta wskazuje na siłę zjawiska. Przykładowo, weźmy pod uwagę standaryzowaną różnicę pomiędzy średnimi (miernik wielkości efektu). Jest to operacjonalizacja tego, jak się różnią grupa kontrolna i grupa badawcza. Wartość standaryzowanej różnicy pomiędzy średnimi może wynieść d Cohena = 0,62. Ta liczba to dokładnie jest wartość wielkości efektu.
Typy wielkości efektu Wielkość efektu oparta na wyjaśnianej wariancji Ten typ wielkości efektu szacuje ilość wariancji wyjaśnionej przez model w eksperymencie.
Współczynnik korelacji r Pearsona Współczynnik korelacji r Pearsona wprowadzony przez Karla Pearsona jest szeroko wykorzystywaną miarą wielkości efektu dla danych ilościowych powiązanych ze sobą związkiem – na przykład, badając związek pomiędzy wagą urodzenia a długością życia.
Współczynnik korelacji może być również użyty, kiedy zmienne są binarne. Współczynnik korelacji r Pearsona przyjmuje wartości z przedziału od −1 do 1. Wartość −1 wskazuje na idealną, liniową, negatywną zależność. Wartość +1 oznacza idealną, liniową, dodatnią zależność. Jacob Cohen podaje wskazówki interpretacji wielkości efektu dla nauk społecznych:
Wielkość efektu r Mała 0,10 Średnia 0,30 Duża 0,50
Współczynnik determinacji Związany z wielkością efektu jest współczynnik determinacji r², liczony jako kwadrat współczynnika korelacji r Pearsona. W przypadku dwóch zmiennych, jest to miara proporcji zmienności (wariancji) dzielonej przez te zmienne. Współczynnik determinacji r² przyjmuje wartości z przedziału od 0 do 1. Ponieważ są to wartości zawsze dodatnie, to na jego podstawie nie można wyciągnąć wniosku o kierunku korelacji pomiędzy zmiennymi.
Eta-kwadrat, η² Eta-kwadrat (η²) opisuje stosunek wariancji zmiennej zależnej wyjaśnioną (w sensie czysto korelacyjnym) przez zmienną niezależną (predyktor), przy stałych wartościach pozostałych zmiennych niezależnych (predyktorów). η² jest odpowiednikiem r² i jest obciążonym estymatorem wariancji wyjaśnionej przez model w populacji (czyli oszacowuje jedynie wielkość efektu w próbie). Podobnie jak r², każda dodatkowa zmienna w modelu powoduje wzrost wartości η². Ponadto ta wielkość efektu podaje jedynie zmienność w próbie, nie zaś w populacji, co oznacza, że zawsze przeszacowuje wielkość efektu w populacji, jednak obciążenie maleje wraz ze wzrostem elementów w próbie.
gdzie: SSB – międzygrupowa suma kwadratów, SST – całkowita suma kwadratów.
Omega-kwadrat ω² Mniej obciążonym estymatorem wyjaśnionej wariancji w populacji jest ω²Bortz, 1999, p. 269f.Bühner & Ziegler (2009, p. 413f).Tabachnick & Fidell (2007, p. 55)..
Forma tego wzoru jest ograniczona do między-osobniczej analizy z równą liczbą elementów w komórkach. Ponieważ jest mniej obciążony (ale nie nieobciążony), ω² jest bardziej pożądany niż η². Jednakże może być go trudniej obliczyć przy bardziej złożonych analizach.
f² Cohena f² Cohena jest jedną z miar wielkości efektu używanych w kontekście F-testu w ANOVA albo w regresji wielokrotnej. Jego obciążenie (czyli przeszacowanie wielkości efektu dla ANOVA) zależy od obciążenia miar wyjaśnianej zmienności (np. R², ω², η²).
gdzie R² jest współczynnikiem korelacji wielorakiej.
Podobnie, f² może być zdefiniowane jako lub
dla modeli opisanych przez powyższe miary wielkości efektuSteiger, J. H. 2004. Beyond the F test: Effect size confidence intervals and tests of close fit in the analysis of variance and contrast analysis. Psychological Methods 9:(2) 164-182. https://web.archive.org/web/20050214000929/http://statpower.net/Steiger%20Biblio/Steiger04.pdf
Wielkość efektu oparta na średnich albo na dystansie między średnimi Wielkość efektu θ oparta na średnich zwykle wykorzystuje standaryzowaną różnicę między dwiema próbami gdzie μ1 jest wartością oczekiwaną dla jednej populacji, a μ2 jest wartością oczekiwaną dla drugiej populacji oraz σ jest odchyleniem standardowym albo dla obu populacji, albo dla jednej z nich.
W praktyce, powyższe wartości są nieznane dla całej populacji i muszą być oszacowywane na podstawie próby. W ten sposób powstało wiele wersji wielkości efektu opartych na różnicy między średnimi w zależności od tego, jakich estymatorów użyto.
Podany wzór opisujący wielkość efektu przypomina obliczanie statystyki t w teście t-Studenta, z tą różnicą, że w statystyce t używany jest czynnik To oznacza, że dla danej wielkości efektu, poziom istotności wzrasta wraz ze wzrostem próby. W przeciwieństwie do statystyki t, wielkość efektu oszacowuje parametr w populacji, zatem wielkość próby nie ma na nią wpływu.
d Cohena d Cohena jest zdefiniowane jako różnica pomiędzy średnimi podzielona przez odchylenie standardowe w próbie
d Cohena jest często używany w szacowaniu wielkości próby obok pożądanej mocy testu przy założonym poziomie istotności. Mniejsze d Cohena oznacza konieczność zwiększenia liczności próby, i na odwrót.
Jacob Cohen zdefiniował w powyższym wzorze jako zbiorcze odchylenie standardowe dla dwóch niezależnych prób:
gdzie wariancja grupy została określona wzorem:
Δ Glassa W 1976 Gene V. Glass zaproponował estymator wielkości efektu, który wykorzystuje jedynie odchylenie standardowe w drugiej próbce.
Druga próbka może oznaczać grupę kontrolną. Według Glassa, jeśli porównujemy kilka grup do grupy kontrolnej, to lepszym rozwiązaniem jest użycie odchylenia standardowego pochodzącego z grupy kontrolnej po to, aby wielkości efektu nie różniły się ze względu na różne wariancje mając ten sam licznik (różnica w średnich). Przy spełnieniu założenia o równości wariancji we wszystkich próbach, odchylenie standardowe σ dla wszystkich obserwacji jest dokładniejszym estymatorem.
g Hedgesa W 1981 roku Larry Hedges zaproponował inny miernik wielkości efektu, g Hedgesa, opartą na standaryzowanej różnicy
W tym wzorze odchylenie standardowe dla całej próby jest obliczanie nieco inną metodą niż w d Cohena. Początkowo, można było obliczać odchylenie standardowe dla całej próby w ten sposób:
Jednakże estymator dla wielkości efektu w populacji θ jest estymatorem obciążonym. Obciążenie można zmniejszyć poprzez pomnożenie przez czynnik
Hedges i Olkin odnoszą się do powyższego mniej obciążonego estymatora jako d, ale nie jest to ta sama wielkość efektu co d Cohena. Dokładna forma czynnika korygującego obciążenie zawiera w sobie funkcję gamma.
Ψ, standaryzowana średnia kwadratowa Jest to estymator wielkości efektu używany w przypadku porównań wielokrotnych np. ANOVA, analogiczny do d albo g. Najprostszy wzór na Ψ, używany w przypadku jednoczynnikowej ANOVA:
Wzory uogólnione dla wieloczynnikowego modelu również znajdują się w literaturze.
Rozkład wielkości efektu opartej na średnich Jeśli dane mają rozkład normalny, to skalowane g Hedgesa, ma niecentralny rozkład t-Studenta z parametrem niecentralności oraz (n1 + n2 – 2) stopniami swobody. Podobne, skalowana Δ Glassa ma niecentralny rozkład z n2 – 1 stopniami swobody. Przy użyciu powyższych rozkładów, jest możliwe obliczenie wartości oczekiwanej i wariancji wielkości efektu. W przypadku odpowiednio dużych prób używane są aproksymacje dla wariancji. Nieobciążonym estymatorem wariancji g Hedgesa jest
Wielkość efektu dla zmiennych jakościowych Fi (φ) V Craméra (φc)
Popularnie używane miary związku dla testu niezależności chi-kwadrat to współczynnik fi oraz V Craméra (V Craméra czasami jest nazywane fi Craméra i zapisywane jako φc). Współczynnik fi jest związany ze współczynnikiem korelacji punktowo-dwuseryjnej oraz z d Cohena i jest stosowany, by zmierzyć siłę związku pomiędzy dwoma zmiennymi przedstawionymi w tablicy kontyngencji o wymiarach 2x2. Natomiast V Craméra może być użyty ze zmiennymi o większej ilości kategorii.
Współczynnik fi może co do wartości bezwzględnej być obliczony na podstawie pierwiastka kwadratowego statystyki chi-kwadrat podzielonej przez wielkość próby. Podobnie V Craméra jest obliczane poprzez podzielenie pierwiastka kwadratowego statystyki chi-kwadrat przez iloczyn wielkości próby i mniejszej z liczb: wierszy lub kolumn pomniejszonych o 1.
V Craméra jest miarą zależności między dwoma zmiennymi jakościowymi i może być obliczana dla każdej liczby wierszy i kolumnSheskin, David J. (1997). Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures. Boca Raton, Fl: CRC Press.. Jednak, podobnie jak wartości chi-kwadrat mają tendencję do wzrostu wraz z liczbą komórek w tablicy kontyngencji, im większa różnica między liczbą kolumn c a liczbą wierszy r, tym bliższa 1 jest wartość V Craméra bez znaczącej korelacji między zmiennymi.
Iloraz szans Iloraz szans (odds ratio, OR) to miara wielkości efektu odpowiednia wówczas, kiedy pytanie badawcze dotyczy stopnia związku pomiędzy dwoma zmiennymi binarnymi (zero-jedynkowymi).