Ознака Жаме — ознака збіжності числових рядів із додатними членами, встановлена .
Формулювання
Доведення
1. Нехай для ряду виконується умова: .
Перетворимо цю нерівність до вигляду: .
Оскільки завжди можна знайти достатньо велике таке, що: ,
то можна перейти до виразу: .
Застосувавши розклад функції у ряд Маклорена з остаточним членом у формі Пеано, отримаємо:
Винесемо перший доданок з-під експоненти:
Тепер застосуємо розклад у ряд Маклорена для функції :
Знехтувавши нескінченно малими і враховуючи, що , маємо:
Останнє, згідно з ознакою порівняння, означає, що розглядуваний ряд збігається і розбігається одночасно з рядом (ряд Діріхле), який збігається при і розбігається при .
2. Нехай для ряду виконується умова:
Перетворимо цю нерівність до вигляду: .
Двічі застосувавши розклад у ряд Маклорена з остаточним членом у формі Пеано, отримаємо:
Тобто, згідно з ознакою порівняння, розглядуваний ряд розбігається, оскільки розбігається ряд (гармонічний ряд).
Формулювання у граничній формі
Джерела