Stabilność układu automatycznej regulacji – niezbędny warunek pracy układu automatycznej regulacji mówiący o tym, że układ po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi sam powraca do tego stanu. Ponieważ stan równowagi może być różnie interpretowany stosuje się także definicję stabilności Laplace’a, która mówi, że układ liniowy jest stabilny, jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona.
Wstęp Stabilność to jedna z najważniejszych właściwości systemów dynamicznych. Istnieje wiele interpretacji pojęcia stabilności, które w zasadzie są równoważne dobrze znanym pojęciom matematycznym, takim jak ograniczoność lub ciągłość. Układ dynamiczny nazywamy stabilnym, gdy trajektorie stanów są ograniczone albo gdy zależą one w sposób ciągły od stanów początkowych lub sterowań. Pojęcie stabilności układu można również definiować poprzez stawianie odpowiednich wymagań trajektoriom wyjścia układu.
Większość definicji stabilności odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi. Najczęściej spotykane definicje stabilności odnoszą się do układów opisywanych równaniem różniczkowym – mówi się wówczas o stabilności poszczególnych rozwiązań równania różniczkowego otrzymanych przy ustalonym sterowaniu przy czym przez stabilność rozwiązania rozumie się ciągłą zależność tego rozwiązania od warunku początkowego
Stabilność w sensie Poincarégo Punkt nazywa się stabilnym w sensie Poincarégo wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i dla każdego istnieje taka że każda trajektoria spełniająca warunek jest określona na przedziale oraz odległość trajektorii fazowych funkcji i w przedziale jest mniejsza od (w sensie metryki funkcji ciągłych).
Stabilność w sensie Lapunowa thumb|200px|Ilustracja stabilności (odpowiednie trajektorie fazowe dla układu drugiego rzędu) Odmienną od Henriego Poincarégo definicję stabilności wprowadził Aleksandr Lapunow. Punkt równowagi stabilny w sensie Lapunowa jest stabilny w sensie Poincarégo, ale odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe. W szczególnym przypadku gdy obie definicje są sobie równoważne.
W przypadku układów liniowych, stacjonarnych o parametrach skupionych intuicyjne rozumienie stabilności jest ścisłe. Intuicyjnie za układ stabilny uważa się taki, którego rozwiązanie swobodne (przy niezerowych warunkach początkowych) pozostaje ograniczone w dowolnym czasie. Oznacza to, że przy wymuszeniu ograniczonym co do wartości i czasu trwania odpowiedź układu będzie również ograniczona.
Ściślej rzecz ujmując, punkt równowagi (zwany też stanem równowagi) nazywa się stabilnym dla chwili (w sensie definicji Lapunowa), jeżeli dla każdej liczby dodatniej można dobrać taką liczbę (zależną na ogół od i czasami od ), że trajektoria układu rozpoczynająca się w punkcie leżącym wewnątrz kuli o promieniu pozostanie wewnątrz kuli o promieniu dla dowolnej chwili innymi słowy jeśli to dla każdego
Jeśli ponadto wartość jest niezależna wybranej chwili to punkt równowagi nazywa się stabilnym jednorodnie (lub stabilnym jednostajnie). thumb|left|200px|Ilustracja stabilności asymptotycznej (odpowiednie trajektorie fazowe dla układu drugiego rzędu) Liniowy układ swobodny (nie poddany wymuszeniom) opisany równaniem stanu gdzie i są macierzami o elementach stałych, niezależnych od czasu; nazywa się stabilnym (lub odpowiednio niestabilnym) jeżeli punkt równowagi tego układu jest stabilny (lub odpowiednio niestabilny).
Pewne uściślenie wprowadza pojęcie stabilności asymptotycznej. Stabilność asymptotyczna oznacza, że układ nie tylko jest stabilny, a więc jego rozwiązania są ograniczone, ale gdy czas dąży do nieskończoności, rozwiązanie swobodne dąży do zera. Oznacza to, że rozwiązanie wymuszone będzie ograniczone nawet przy wymuszeniu (ograniczonym) trwającym dość długo.
Innymi słowy jeśli dla punktu równowagi o którym mowa powyżej, ponadto to punkt równowagi jest stabilny asymptotycznie. Co można też zapisać następująco: jeżeli istnieje taka wartość że to
Liniowy układ swobodny (nie poddany wymuszeniom) opisany równaniem stanu gdzie i są macierzami o elementach stałych, niezależnych od czasu; nazywa się stabilnym asymptotycznie jeżeli punkt równowagi tego układu jest stabilny asymptotycznie.
W wielu zastosowaniach inżynierii nie wystarcza stwierdzenie, że układ dąży do punktu równowagi w nieskończonym czasie – potrzebna jest też ocena jak szybko trajektoria układu dąży do tego punktu. Wówczas przydatne staje się pojęcie stabilności eksponencjalnej (zwanej też stabilnością wykładniczą).
Stan/punkt równowagi jest stabilny eksponencjalnie jeżeli istnieją dwie liczby dodatnie i takie, że
w jakiejś kuli dokoła początku układu współrzędnych.
W przypadku stabilności eksponencjalnej wektor stanów eksponencjalnie stabilizuje układ, gdyż dąży do początku szybciej niż funkcja wykładnicza. Dodatnia liczba nazywana jest w tym kontekście współczynnikiem zbieżności eksponencjalnej. Jeśli układ jest stabilny eksponencjalnie to jest stabilny asymptotycznie, ale odwrotna implikacja nie jest w ogólności prawdziwa.
Jeśli układ jest stabilny dla pewnych wartości stanów początkowych i danego stanu równowagi mówi się o stabilności lokalnej.
Jeśli układ jest stabilny dla wszystkich wartości stanów początkowych i danego stanu równowagi mówi się o stabilności globalnej.
Wyróżnia się stabilność wewnętrzną i stabilność zewnętrzną – w pierwszym przypadku (rozważonym tu powyżej) jest to stabilność względem warunków początkowych układu (odpowiedzi swobodnej układu); w drugim względem wymuszeń układu (odpowiedzi wymuszonej układu). Stabilność wewnętrzna układu liniowego implikuje zawsze jego stabilność zewnętrzną.
Stabilność BIBO
Badanie stabilności Dzięki wprowadzonym kryteriom stabilności projektanci łatwiej mogą uzyskać odpowiedź na pytanie o stabilność przyjętego matematycznego modelu układu. Wykorzystując niżej podane kryteria stabilności, można określić, czy układ jest stabilny na podstawie struktury i parametrów modelu, bez konieczności rozwiązywania równań modelu lub prowadzenia badań symulacyjnych.
Podstawowe kryteria stabilności liniowych układów ciągłych Kryterium odpowiedzi skokowej Układ zamknięty w odpowiedzi na skok jednostkowy powinien osiągać stan ustalony w czasie dążącym do nieskończoności.
Kryterium biegunów W układzie liniowym, stacjonarnym istnieje jednoznaczny związek między stabilnością a wartościami własnymi tego układu. O stabilności układu liniowego najprościej można orzec, znając jego transmitancję lub znając położenie pierwiastków równania charakterystycznego (czyli biegunów transmitancji, wartości własnych układu).
Krótko mówiąc, aby układ ciągły był stabilny, wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego powinny mieć ujemne części rzeczywiste, czyli znajdować się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.
Ponieważ w rozwiązaniu równania stanu pojawiają się składniki zawierające wyrazy (zob. macierz przejścia) dlatego: Jeśli wszystkie wartości własne układu mają ujemne części rzeczywiste dla to układ jest stabilny. Ponadto układ liniowy jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s (tzn. mają ujemną część rzeczywistą). W tym przypadku składowa przejściowa odpowiedzi zanika do zera przy Jeśli występują wartości własne o zerowych częściach rzeczywistych (a więc rzeczywiste zerowe lub czysto urojone) to układ pozostaje stabilny jeśli te wartości są pojedyncze. Wynika to z ograniczoności wyrażeń lub Nie zachodzi tu jednak warunek stabilności asymptotycznej. Innymi słowy układ liniowy jest na granicy stabilności, jeżeli jeden jego biegun leży na osi urojonej, a reszta biegunów – w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Jeśli choć jedna wartość własna układu ma dodatnią część rzeczywistą to układ jest niestabilny. Układ liniowy jest niestabilny, jeżeli co najmniej jeden jego biegun leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s lub więcej niż jeden biegun znajduje się na osi urojonej. Jeśli wartość własna przy jest wielokrotna, to w rozwiązaniu pojawiają się człony typu itd., w zależności od krotności wartości własnej, co sprawia, że rozwiązania stają się nieograniczone. W tym przypadku składowa przejściowa odpowiedzi rośnie do nieskończoności przy
Przykładami członów stabilnych nieasymptotycznie są: człon całkujący (transmitancja wartość własna rozwiązanie swobodne jest stałe, rozwiązanie wymuszone pozostaje ograniczone i stałe, jeśli wymuszenie w skończonym czasie zaniknie do zera) idealny człon oscylacyjny (transmitancja wartości własne i rozwiązanie swobodne sinusoidalne).
Kryterium biegunów dla układów czasu dyskretnego mówi, że układ jest stabilny, o ile bieguny jego transmitancji, rozumianej jako stosunek transformaty Z sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego. W przypadku, gdy choć jeden z biegunów znajduje się na okręgu jednostkowym, tzn. jego moduł ma wartość równą jedności, układ znajduje się na granicy stabilności (czyli układ pozostaje stabilny, jeśli na okręgu leży jeden biegun). Jeśli natomiast jeden lub więcej biegunów znajdują się poza okręgiem jednostkowym, układ jest niestabilny.
Analityczne (algebraiczne) i graficzne kryteria stabilności liniowych układów ciągłych Jeśli postać transmitancji nie jest znana, o stabilności układu można orzec na podstawie charakterystyk częstotliwościowych. Innym sposobem niezależnym od ich znajomości czy postaci transmitancji, jest określenie stabilności w sensie BIBO, czyli spełnienie warunku, że przy dowolnym, ale ograniczonym sygnale wymuszającym odpowiedź układu będzie również ograniczona. Ominięcie procedury wyznaczania położenia biegunów transmitancji umożliwiają kryteria stabilności, które można podzielić na:
Kryteria analityczne (algebraiczne) Kryteria te stosowane są w przypadku znajomości postaci analitycznej transmitancji (a dokładniej-postaci wielomianu charakterystycznego). Można do nich zaliczyć kryterium Routha i Hurwitza: kryterium stabilności Routha, kryterium Hurwitza.
Pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego będą znajdować się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s (układ będzie stabilny), jeśli spełnione zostaną 2 warunki: Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego będą istnieć i mieć ten sam znak, Wszystkie podwyznaczniki wyznacznika głównego (posiadającego n wierszy i n kolumn) muszą być większe od 0.
Zobacz też: wielomian stabilny.
Kryteria graficzne 1) Kryteria graficzne stosowane są przypadku znajomości charakterystyk częstotliwościowych układu. Można tu zaliczyć między innymi takie kryteria jak: Nyquista, Bodego i Nicholsa.
Kryterium Nyquista Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu
Kryterium logarytmiczne Nyquista Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli logarytmiczna charakterystyka amplitudowa układu otwartego posiada wartość ujemną dla pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu
2) kryteria graficzne – stosowane w przypadku znajomości analitycznej postaci transmitancji układu otwartego to metoda linii pierwiastkowych.
Kryteria analityczno-graficzne Jeszcze inne kryterium to Kryterium Michajłowa – kryterium analityczno-graficzne, pozwala rozstrzygnąć o stabilności na podstawie tzw. krzywej Michajłowa. Wielomian układu zamkniętego (mianownik transformaty) ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, jeśli przyrost argumentu równania charakterystycznego w postaci widmowej przy zmianie pulsacji od 0 do wynosi gdzie jest stopniem wielomianu.
Stabilność liniowych układów dyskretnych